Potencial:
- Escreva a energia potencial gravitacional ( U ) do sistema.
Passo 1
O enunciado pede: “Escreva a energia potencial gravitacional (
) do sistema.”
Informações dadas no enunciado: nenhuma específica (não há figura, não há número de massas, nem referência de zero).
Portanto vou fornecer as formas usuais e corretas de escrever a energia potencial gravitacional dependendo do tipo de sistema — explicando o que cada símbolo significa e as hipóteses por trás de cada expressão — para que você use a que for a do seu problema na prova.
Informações dadas no enunciado: nenhuma específica (não há figura, não há número de massas, nem referência de zero).
Portanto vou fornecer as formas usuais e corretas de escrever a energia potencial gravitacional dependendo do tipo de sistema — explicando o que cada símbolo significa e as hipóteses por trás de cada expressão — para que você use a que for a do seu problema na prova.
Passo 2
Energia potencial gravitacional para um corpo em um campo gravitacional uniforme (caso comum perto da superfície da Terra).
- Ideia física rápida: se o campo é aproximadamente uniforme, a força gravitacional sobre uma massa
é vertical para baixo e vale , onde é a intensidade da aceleração da gravidade e indica o eixo vertical positivo para cima. - Derivação em passos pequenos:
- Trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de uma posição
para é - Definição de energia potencial (diferença): a variação da energia potencial do campo entre
e é . Substituindo, - Integrando (ou escolhendo referência), obtemos a expressão geral
onde é uma constante que depende do ponto onde se define . Na prática escolhe-se comumente quando é o nível de referência, ou escolhe-se no infinito dependendo do contexto.
- Trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de uma posição
- Para um sistema de várias massas pontuais
cada qual com coordenada vertical no mesmo campo uniforme: - Significado das variáveis:
-
ou : massa (kg). -
: aceleração da gravidade (m/s ), perto da Terra . -
ou : altura vertical medida a partir do nível onde se fixou (m). -
: constante de integração (ajusta o nível zero de energia potencial).
-
Passo 3
Energia potencial gravitacional mútua entre massas (gravitação newtoniana) — quando o sistema é composto por massas que se atraem umas às outras e a atração entre elas não pode ser desprezada.
- Força entre duas massas puntiformes
e separadas por distância é dada por onde é a constante gravitacional e é o vetor unitário de em direção a . - Para obter a energia potencial entre essas duas massas, integra-se a força radial de
(onde convencionamos ) até uma distância finita : Note que o sinal é negativo — energia potencial ligada, pois é necessário dar energia positiva para separar as massas até . - Para um sistema com
massas pontuais nas posições que geram distâncias entre cada par , a energia potencial gravitacional total (somando todas as interações pares uma única vez) é - Significado das variáveis:
-
: constante gravitacional ( ). -
: distância entre as massas e .
-
- Por que o somatório é com
? Para não contar duas vezes a mesma interação (a interação - é igual à - ).
Passo 4
Energia potencial para distribuições contínuas de massa.
- Se a massa não está concentrada em pontos, mas distribuída com densidade volumétrica
, a energia potencial gravitacional total do contínuo é dada por uma dupla integral que soma as contribuições de todos os pares de elementos de massa: - O fator
evita contar cada par de elementos duas vezes. Alternativamente, se for o potencial gravitacional criado pela distribuição, pode-se escrever - Exemplo direto (só para intuição): para uma esfera uniforme de massa total
e raio a expressão resulta em que é o resultado padrão usado em muitos exercícios (mas isso vem de integrar a expressão acima).
Passo 5
Resumo prático — como usar isso na prova (dicas rápidas e empurrãozinho motivacional).
- Primeiro identifique o regime do seu problema:
- Se o problema fala de massas pequenas próximas da superfície da Terra e do peso
, use (escolha o nível de conforme for conveniente). - Se o problema trata da interação gravitacional entre corpos (planetas, satélites, massas pontuais separadas por distâncias comparáveis), use
. - Se for uma distribuição contínua de massa, use a fórmula integral com
.
- Se o problema fala de massas pequenas próximas da superfície da Terra e do peso
- Escolha explicitamente onde define
(no infinito para gravitação newtoniana mutua; em uma superfície conveniente para ). Escrever isso na prova evita perda de pontos. - Você consegue — respira fundo, escolhe o caso correto acima e aplica a expressão correspondente ao enunciado do seu exercício.