Potencial:
  • Escreva a energia potencial gravitacional ( U ) do sistema.

Passo 1

O enunciado pede: “Escreva a energia potencial gravitacional ( U) do sistema.”
Informações dadas no enunciado: nenhuma específica (não há figura, não há número de massas, nem referência de zero).
Portanto vou fornecer as formas usuais e corretas de escrever a energia potencial gravitacional dependendo do tipo de sistema — explicando o que cada símbolo significa e as hipóteses por trás de cada expressão — para que você use a que for a do seu problema na prova.

Passo 2

Energia potencial gravitacional para um corpo em um campo gravitacional uniforme (caso comum perto da superfície da Terra).
  • Ideia física rápida: se o campo é aproximadamente uniforme, a força gravitacional sobre uma massa m é vertical para baixo e vale \vec{F}=-m g\,\hat{y}, onde g é a intensidade da aceleração da gravidade e \hat{y} indica o eixo vertical positivo para cima.
  • Derivação em passos pequenos:
    1. Trabalho realizado pela força gravitacional ao mover a massa de uma posição y_1 para y_2 é W_{1\to2}=\int_{y_1}^{y_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{y_1}^{y_2}(-m g)\,dy=-m g (y_2-y_1).
    2. Definição de energia potencial (diferença): a variação da energia potencial do campo entre y_1 e y_2 é \Delta U=U(y_2)-U(y_1)=-W_{1\to2}. Substituindo, U(y_2)-U(y_1)=m g (y_2-y_1).
    3. Integrando (ou escolhendo referência), obtemos a expressão geral U(y)=m g y + C,onde C é uma constante que depende do ponto onde se define U=0. Na prática escolhe-se comumente C=0 quando y=0 é o nível de referência, ou escolhe-se C=0 no infinito dependendo do contexto.
  • Para um sistema de várias massas pontuais m_i cada qual com coordenada vertical y_i no mesmo campo uniforme: U=\sum_{i} m_i g y_i + C.
  • Significado das variáveis:
    • m ou m_i: massa (kg).
    • g: aceleração da gravidade (m/s ^2), perto da Terra g\approx9{,}8.
    • y ou y_i: altura vertical medida a partir do nível onde se fixou U=0 (m).
    • C: constante de integração (ajusta o nível zero de energia potencial).

Passo 3

Energia potencial gravitacional mútua entre massas (gravitação newtoniana) — quando o sistema é composto por massas que se atraem umas às outras e a atração entre elas não pode ser desprezada.
  • Força entre duas massas puntiformes m_1 e m_2 separadas por distância r é dada por \vec{F}=-\frac{G m_1 m_2}{r^2}\,\hat{r},onde G é a constante gravitacional e \hat{r} é o vetor unitário de m_1 em direção a m_2.
  • Para obter a energia potencial entre essas duas massas, integra-se a força radial de r=\infty (onde convencionamos U=0) até uma distância finita r: U(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{G m_1 m_2}{s^2}\,ds = -\left[-\frac{G m_1 m_2}{s}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{G m_1 m_2}{r}.Note que o sinal é negativo — energia potencial ligada, pois é necessário dar energia positiva para separar as massas até r\to\infty.
  • Para um sistema com N massas pontuais m_i nas posições que geram distâncias r_{ij} entre cada par (i,j), a energia potencial gravitacional total (somando todas as interações pares uma única vez) é U=-G\sum_{i<j}\frac{m_i m_j}{r_{ij}}.
  • Significado das variáveis:
    • G: constante gravitacional ( G\approx6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
    • r_{ij}: distância entre as massas m_i e m_j.
  • Por que o somatório é com i<j? Para não contar duas vezes a mesma interação (a interação i- j é igual à j- i).

Passo 4

Energia potencial para distribuições contínuas de massa.
  • Se a massa não está concentrada em pontos, mas distribuída com densidade volumétrica \rho(\mathbf{r}), a energia potencial gravitacional total do contínuo é dada por uma dupla integral que soma as contribuições de todos os pares de elementos de massa: U = -\dfrac{G}{2}\iint \frac{\rho(\mathbf{r})\,\rho(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dV\,dV'.
  • O fator 1/2 evita contar cada par de elementos duas vezes. Alternativamente, se \varphi(\mathbf r) for o potencial gravitacional criado pela distribuição, pode-se escrever U=\dfrac{1}{2}\int \rho(\mathbf r)\,\varphi(\mathbf r)\,dV.
  • Exemplo direto (só para intuição): para uma esfera uniforme de massa total M e raio R a expressão resulta em U=-\frac{3}{5}\frac{G M^2}{R},que é o resultado padrão usado em muitos exercícios (mas isso vem de integrar a expressão acima).

Passo 5

Resumo prático — como usar isso na prova (dicas rápidas e empurrãozinho motivacional).
  • Primeiro identifique o regime do seu problema:
    • Se o problema fala de massas pequenas próximas da superfície da Terra e do peso mg, use U=\sum_i m_i g y_i (escolha o nível de y=0 conforme for conveniente).
    • Se o problema trata da interação gravitacional entre corpos (planetas, satélites, massas pontuais separadas por distâncias comparáveis), use U=-G\sum_{i<j} m_i m_j / r_{ij}.
    • Se for uma distribuição contínua de massa, use a fórmula integral com \rho.
  • Escolha explicitamente onde define U=0 (no infinito para gravitação newtoniana mutua; em uma superfície conveniente para m g y). Escrever isso na prova evita perda de pontos.
  • Você consegue — respira fundo, escolhe o caso correto acima e aplica a expressão correspondente ao enunciado do seu exercício.

Resposta

U=\sum_{i} m_i g y_i + C
U=-G\displaystyle\sum_{i<j}\frac{m_i m_j}{r_{ij}}
U=-\dfrac{G}{2}\displaystyle\iint \frac{\rho(\mathbf{r})\,\rho(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dV\,dV'

Exercícios relacionados