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Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano?
Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano?
Passo 1
O enunciado dá: dois operadores hermitianos
e
. A pergunta é simples e única: quando o produto
é hermitiano?
Informações relevantes dadas: e
são hermitianos (ou seja,
e
). Nada mais foi dado — então vamos usar só essas hipóteses.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar bem o que significa “hermitiano” e “adjunto” (esse é o fundamento que precisamos entender antes de mexer no produto).
- O adjunto de um operador
é o operador que satisfaz, para todos os vetores do espaço (quando definidos),
Aqui
é o produto interno do espaço de Hilbert. Em matrizes (espaço finito) isso equivale à transposta conjugada.
- Um operador é hermitiano (ou auto-adjunto, no uso comum) se
Em palavras: aplicar o adjunto não muda o operador.
Passo 3
Agora uma propriedade básica dos adjuntos que vamos usar: o adjunto de um produto inverte a ordem. Para operadores
e
(sob condições usuais de domínio),
Explicação curta e intuitiva: pela definição do adjunto,
o que mostra que
é o adjunto de
. A ordem troca porque o adjunto “passa” de um lado para o outro no produto.
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso em que
e
são hermitianos (ou seja,
e
), obtemos
Logo, para que
seja hermitiano precisamos de
Substituindo o que achamos,
Portanto, uma condição necessária é que
e
comutem.
Passo 5
Mostramos necessidade; agora a suficiência: se
e
comutam, isto é, se
então
. Da relação do passo 4 segue imediatamente
ou seja,
é hermitiano. Assim temos equivalência:
é hermitiano se, e somente se,
e
comutam.
Passo 6
Vou dar exemplos rápidos para fixar a ideia (coisa que cai muito em prova e ajuda a intuir resultados):
Exemplo 1 (comutam → produto hermitiano): sejam
Ambas são hermitianas e diagonais, logo
e
é hermitiano.
Exemplo 2 (não comutam → produto não é hermitiano): use as matrizes de Pauli
Ambas são hermitianas, mas
com
hermitiana. Como há um fator
(puro imaginário),
não é hermitiano. De fato
, então o produto é anti-hermitiano porque
e
não comutam.]
Passo 7
Caveat importante (domínios / operadores não-limitados): a argumentação acima é válida e totalmente segura para operadores limitados (por exemplo matrizes finitas). Para operadores não-limitados em espaços de Hilbert (ex.: momento e posição na mecânica quântica), é preciso tomar cuidado com domínios de definição e com a existência do produto e do adjunto — às vezes
nem está bem definido em todo o espaço e a identidade
exige hipóteses sobre domínios. Em provas de graduação normalmente o enunciado trabalha com operadores limitados (ou matrizes) e aí não precisa desse refinamento. Se o enunciado envolver operadores não-limitados, é necessário citar as condições de domínio para tornar a afirmação rigorosa.
Passo 8
Resumo pedagógico (como lembrar na prova): calcule
usando a regra de inversão de ordem; como
e
você obtém
. Então basta exigir
. Em uma frase curta: “o produto de dois hermitianos é hermitiano exatamente quando eles comutam”.
Resposta
O produto
de dois operadores hermitianos
e
é hermitiano se, e somente se,
(isto é,
).