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Quando o produto de dois operadores hermitianos é hermitiano?

Passo 1

O enunciado dá: dois operadores hermitianos A e B. A pergunta é simples e única: quando o produto AB é hermitiano?
Informações relevantes dadas: A e B são hermitianos (ou seja, A^\dagger = A e B^\dagger = B). Nada mais foi dado — então vamos usar só essas hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar bem o que significa “hermitiano” e “adjunto” (esse é o fundamento que precisamos entender antes de mexer no produto).
  • O adjunto de um operador T é o operador T^\dagger que satisfaz, para todos os vetores do espaço (quando definidos),
\langle \varphi, T\psi\rangle = \langle T^\dagger\varphi, \psi\rangle.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno do espaço de Hilbert. Em matrizes (espaço finito) isso equivale à transposta conjugada.
  • Um operador é hermitiano (ou auto-adjunto, no uso comum) se
T^\dagger = T.
Em palavras: aplicar o adjunto não muda o operador.

Passo 3

Agora uma propriedade básica dos adjuntos que vamos usar: o adjunto de um produto inverte a ordem. Para operadores A e B (sob condições usuais de domínio),
(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger.
Explicação curta e intuitiva: pela definição do adjunto,
\langle \varphi, AB\,\psi\rangle = \langle B^\dagger A^\dagger\varphi, \psi\rangle,
o que mostra que B^\dagger A^\dagger é o adjunto de AB. A ordem troca porque o adjunto “passa” de um lado para o outro no produto.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso em que A e B são hermitianos (ou seja, A^\dagger=A e B^\dagger=B), obtemos
(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger = BA.
Logo, para que AB seja hermitiano precisamos de
(AB)^\dagger = AB.
Substituindo o que achamos,
BA = AB.
Portanto, uma condição necessária é que A e B comutem.

Passo 5

Mostramos necessidade; agora a suficiência: se A e B comutam, isto é, se
[A,B]:=AB-BA=0,
então BA=AB. Da relação do passo 4 segue imediatamente
(AB)^\dagger = BA = AB,
ou seja, AB é hermitiano. Assim temos equivalência: AB é hermitiano se, e somente se, A e B comutam.

Passo 6

Vou dar exemplos rápidos para fixar a ideia (coisa que cai muito em prova e ajuda a intuir resultados):
Exemplo 1 (comutam → produto hermitiano): sejam
A=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]0&4\end{pmatrix}.
Ambas são hermitianas e diagonais, logo AB=BA e AB é hermitiano.
Exemplo 2 (não comutam → produto não é hermitiano): use as matrizes de Pauli
\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\qquad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\[2pt]i&0\end{pmatrix}.
Ambas são hermitianas, mas \sigma_x\sigma_y = i\sigma_z com \sigma_z hermitiana. Como há um fator i (puro imaginário), \sigma_x\sigma_y não é hermitiano. De fato (\sigma_x\sigma_y)^\dagger = \sigma_y\sigma_x = -\sigma_x\sigma_y, então o produto é anti-hermitiano porque \sigma_x e \sigma_y não comutam.]

Passo 7

Caveat importante (domínios / operadores não-limitados): a argumentação acima é válida e totalmente segura para operadores limitados (por exemplo matrizes finitas). Para operadores não-limitados em espaços de Hilbert (ex.: momento e posição na mecânica quântica), é preciso tomar cuidado com domínios de definição e com a existência do produto e do adjunto — às vezes AB nem está bem definido em todo o espaço e a identidade (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger exige hipóteses sobre domínios. Em provas de graduação normalmente o enunciado trabalha com operadores limitados (ou matrizes) e aí não precisa desse refinamento. Se o enunciado envolver operadores não-limitados, é necessário citar as condições de domínio para tornar a afirmação rigorosa.

Passo 8

Resumo pedagógico (como lembrar na prova): calcule (AB)^\dagger usando a regra de inversão de ordem; como A^\dagger=A e B^\dagger=B você obtém (AB)^\dagger=BA. Então basta exigir BA=AB. Em uma frase curta: “o produto de dois hermitianos é hermitiano exatamente quando eles comutam”.

Resposta

O produto AB de dois operadores hermitianos A e B é hermitiano se, e somente se, [A,B]=0 (isto é, AB=BA).

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