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Suponha que
seja hermitiano e
seja um número complexo. Sob quais condições (em
)
é hermitano?
Suponha que
Passo 1
O enunciado dá que
é hermitiano e que
é um número complexo. Pede-se: sob quais condições sobre
o operador
também é hermitiano?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é hermitiano (isto é, tem alguma propriedade que vamos usar). -
é um escalar multiplicando .
O objetivo é encontrar a condição emque garante que seja hermitiano.
Passo 2
Definição importante (explicada passo a passo): um operador linear
é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, isto é,
Aqui
por hipótese.
Também preciso de uma propriedade do adjunto relativa à multiplicação por escalar: se é um número complexo e
um operador, então
Também preciso de uma propriedade do adjunto relativa à multiplicação por escalar: se
onde
é o conjugado complexo de
. Isso vem da definição do adjunto e do fato de que o conjugado complexo aparece ao passar o escalar para o outro lado no produto interno.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso e usando que
, obtemos
Para que
seja hermitiano precisamos que o adjunto seja igual ao próprio operador, isto é,
Substituindo a expressão do adjunto:
Reescrevendo,
Passo 4
Interpretando a equação
: escrevendo
com
, tem-se
. Assim a equação fica
Dessa igualdade seguem duas possibilidades:
- Se
(operador não nulo), então necessariamente , ou seja . Portanto . - Se
(operador nulo), então é verdade para qualquer , porque . Assim, no caso trivial , qualquer funciona.
Passo 5
Exemplos e intuição rápida (útil na prova):
- Se
é uma matriz hermitiana e , então é claramente hermitiana (multiplicação por escalar real preserva hermiticidade). - Se multiplicar por
(ou outro número imaginário), por exemplo , então
quando
; ou seja,
é anti-hermitiano, não hermitiano.
- Caso especial: se
então é hermitiano para qualquer .
Passo 6
Dica prática para a prova: ao ver
, verifique rapidamente se
é igual ao seu conjugado (isto é, se
é real). Se for, e
, então
é hermitiano. Se
, não importa
.
Resposta
Se
:
.
Se : qualquer
.
Se