2
Suponha que \hat{Q} seja hermitiano e \alpha seja um número complexo. Sob quais condições (em \alpha ) \alpha \hat{Q} é hermitano?

Passo 1

O enunciado dá que \hat{Q} é hermitiano e que \alpha é um número complexo. Pede-se: sob quais condições sobre \alpha o operador \alpha \hat{Q} também é hermitiano?
Informações relevantes dadas:
  • \hat{Q} é hermitiano (isto é, tem alguma propriedade que vamos usar).
  • \alpha \in \mathbb{C} é um escalar multiplicando \hat{Q}.
    O objetivo é encontrar a condição em \alpha que garante que \alpha\hat{Q} seja hermitiano.

Passo 2

Definição importante (explicada passo a passo): um operador linear \hat{A} é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, isto é,
\hat{A}^\dagger = \hat{A}.
Aqui \hat{Q}^\dagger=\hat{Q} por hipótese.
Também preciso de uma propriedade do adjunto relativa à multiplicação por escalar: se \alpha é um número complexo e \hat{Q} um operador, então
(\alpha \hat{Q})^\dagger = \alpha^* \hat{Q}^\dagger,
onde \alpha^* é o conjugado complexo de \alpha. Isso vem da definição do adjunto e do fato de que o conjugado complexo aparece ao passar o escalar para o outro lado no produto interno.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso e usando que \hat{Q}^\dagger=\hat{Q}, obtemos
(\alpha \hat{Q})^\dagger = \alpha^* \hat{Q}.
Para que \alpha\hat{Q} seja hermitiano precisamos que o adjunto seja igual ao próprio operador, isto é,
(\alpha \hat{Q})^\dagger = \alpha \hat{Q}.
Substituindo a expressão do adjunto:
\alpha^* \hat{Q} = \alpha \hat{Q}.
Reescrevendo,
(\alpha - \alpha^*)\hat{Q} = 0.

Passo 4

Interpretando a equação (\alpha - \alpha^*)\hat{Q}=0: escrevendo \alpha = a + i b com a,b\in\mathbb{R}, tem-se \alpha - \alpha^* = 2 i b. Assim a equação fica
2 i b\,\hat{Q} = 0.
Dessa igualdade seguem duas possibilidades:
  • Se \hat{Q} \neq 0 (operador não nulo), então necessariamente 2 i b = 0, ou seja b=0. Portanto \alpha = a \in \mathbb{R}.
  • Se \hat{Q} = 0 (operador nulo), então (\alpha - \alpha^*)\hat{Q}=0 é verdade para qualquer \alpha, porque \alpha\cdot 0 = 0. Assim, no caso trivial \hat{Q}=0, qualquer \alpha\in\mathbb{C} funciona.

Passo 5

Exemplos e intuição rápida (útil na prova):
  • Se \hat{Q} é uma matriz hermitiana e \alpha \in \mathbb{R}, então \alpha\hat{Q} é claramente hermitiana (multiplicação por escalar real preserva hermiticidade).
  • Se multiplicar por i (ou outro número imaginário), por exemplo \alpha = i, então
(i\hat{Q})^\dagger = -i \hat{Q} \neq i\hat{Q}
quando \hat{Q}\neq 0; ou seja, i\hat{Q} é anti-hermitiano, não hermitiano.
  • Caso especial: se \hat{Q}=0 então \alpha\hat{Q}=0 é hermitiano para qualquer \alpha.

Passo 6

Dica prática para a prova: ao ver \alpha\hat{Q}, verifique rapidamente se \alpha é igual ao seu conjugado (isto é, se \alpha é real). Se for, e \hat{Q}\neq 0, então \alpha\hat{Q} é hermitiano. Se \hat{Q}=0, não importa \alpha.

Resposta

Se \hat{Q}\neq 0: \alpha\in\mathbb{R}.
Se \hat{Q}=0: qualquer \alpha\in\mathbb{C}.

Exercícios relacionados