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Demonstre que o operador de posição
e o operador hamiltoniano
são hermitianos.
Demonstre que o operador de posição
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- O enunciado dá dois operadores em uma dimensão espacial:
e - A tarefa é demonstrar que esses operadores são hermitianos (ou seja, satisfazem a propriedade de simetria do produto interno dentro do domínio adequado).
- Informações implícitas que usaremos (típicas em provas):
- As funções de onda
e pertencem ao espaço de Hilbert e são suficientemente suaves (têm derivadas necessárias) e satisfazem condições de contorno que fazem os termos de contorno desaparecerem — por exemplo, quando . - A função potencial
é real: para todo .
- As funções de onda
Passo 2
Definição usada e notação.
- Definição prática de operador hermitiano (simétrico) que vamos usar: um operador linear
é hermitiano se, para todo par de funções do domínio de , - O produto interno em
que usaremos é onde o asterisco denota conjugação complexa. - Estratégia: verificar a igualdade acima para
e para . Para vamos separar em duas partes: o termo potencial (multiplicação por ) e o termo cinético (derivadas), tratando o termo com integrações por partes e analisando os termos de contorno.
Passo 3
Provar que
é hermitiano (multiplicador real).
- Calcule o produto interno
: - Note que
é um número real para cada , então podemos colocar junto com sob conjugação: Pois porque . - Reconhecendo o lado direito como
, obtemos - Conclusão:
é hermitiano (multiplicador por uma função real é um operador hermitiano), assumindo o domínio usual em que as funções são quadrado-integráveis.
Passo 4
Provar que o termo potencial
é hermitiano.
- O raciocínio é idêntico ao de
. Para real: - Portanto, se
for real e as funções estiverem no domínio apropriado, é hermitiano.
Passo 5
Provar que o termo cinético
é hermitiano (integração por partes).
- Escreva o produto interno:
onde . - Faça integração por partes duas vezes para mover as derivadas para
. Primeiro, com e , temos e . Assim - Agora integramos por partes o segundo integral: com
e , então e . Obtemos - Combinando as duas integrações por partes:
- Substituindo de volta em
: - Note que
- Assim
- Para que
seja hermitiano (i.e., para todo no domínio), é necessário que o termo de contorno se anule. Isso ocorre, por exemplo, se e e suas derivadas forem zero em (condição usual para funções de onda físicas em ), ou mais formalmente se o domínio do operador for escolhido de modo a garantir esses termos nulos (p. ex. espaço de Sobolev adequado). - Portanto, sob as condições de contorno usuais (funções no domínio que fazem os termos de contorno desaparecerem),
é hermitiano.
Passo 6
Concluir hermiticidade do Hamiltoniano
e comentar sutilezas.
- Como
, e já mostramos que é hermitiano quando é real e é hermitiano sob as condições de contorno apropriadas, segue que é hermitiano se: -
é real para todo ; - as funções do domínio satisfazem as condições que anulam os termos de contorno (por exemplo,
quando ou outras condições de contorno apropriadas).
-
- Observação importante (que vale para provas mais teóricas): existe diferença técnica entre “simétrico” (a propriedade que verificámos:
no domínio) e “self-adjoint” (auto-adjunto) que exige igualdade entre domínio do operador e domínio do seu adjoint. Para o Hamiltoniano cinético mais potencial, com domínio bem escolhido (por exemplo, o domínio de Sobolev apropriado) obtém-se um operador auto-adjunto. Em muitas provas de graduação basta mostrar a simetria via integração por partes e as condições de contorno; isso é o que fizemos. - Motivação prática: nas questões de prova, é comum assumir as condições padrão de funções de onda físicas (quadro acima), então a demonstração por integração por partes e o uso de
real convencem o examinador de que e são hermitianos.