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Demonstre que o operador de posição \hat{x}=x e o operador hamiltoniano
\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}}+V(x)
são hermitianos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado dá dois operadores em uma dimensão espacial: \hat{x}=xe \hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x).
  • A tarefa é demonstrar que esses operadores são hermitianos (ou seja, satisfazem a propriedade de simetria do produto interno dentro do domínio adequado).
  • Informações implícitas que usaremos (típicas em provas):
    • As funções de onda \varphi(x) e \psi(x) pertencem ao espaço de Hilbert L^{2}(\mathbb{R}) e são suficientemente suaves (têm derivadas necessárias) e satisfazem condições de contorno que fazem os termos de contorno desaparecerem — por exemplo, \varphi(x),\psi(x)\to 0 quando x\to\pm\infty.
    • A função potencial V(x) é real: V(x)\in\mathbb{R} para todo x.

Passo 2

Definição usada e notação.
  • Definição prática de operador hermitiano (simétrico) que vamos usar: um operador linear \hat{A} é hermitiano se, para todo par de funções \varphi,\psi do domínio de \hat A, \langle \varphi|\hat{A}\psi\rangle = \langle \hat{A}\varphi|\psi\rangle.
  • O produto interno em L^{2}(\mathbb{R}) que usaremos é \langle \varphi|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx,onde o asterisco denota conjugação complexa.
  • Estratégia: verificar a igualdade acima para \hat{x} e para \hat{H}. Para \hat{H} vamos separar em duas partes: o termo potencial (multiplicação por V(x)) e o termo cinético (derivadas), tratando o termo com integrações por partes e analisando os termos de contorno.

Passo 3

Provar que \hat{x}=x é hermitiano (multiplicador real).
  • Calcule o produto interno \langle \varphi|\hat{x}\psi\rangle: \langle \varphi|\hat{x}\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(x)\,x\,\psi(x)\,dx.
  • Note que x é um número real para cada x, então podemos colocar x junto com \varphi sob conjugação: \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(x)\,x\,\psi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \big(x\,\varphi(x)\big)^{*}\,\psi(x)\,dx.Pois \big(x\,\varphi(x)\big)^{*}=x\,\varphi^{*}(x) porque x\in\mathbb{R}.
  • Reconhecendo o lado direito como \langle \hat{x}\varphi|\psi\rangle, obtemos \langle \varphi|\hat{x}\psi\rangle = \langle \hat{x}\varphi|\psi\rangle.
  • Conclusão: \hat{x} é hermitiano (multiplicador por uma função real é um operador hermitiano), assumindo o domínio usual em que as funções são quadrado-integráveis.

Passo 4

Provar que o termo potencial \hat{V}=V(x) é hermitiano.
  • O raciocínio é idêntico ao de \hat{x}. Para V(x) real: \langle \varphi|\hat{V}\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(x)\,V(x)\,\psi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \big(V(x)\varphi(x)\big)^{*}\,\psi(x)\,dx = \langle \hat{V}\varphi|\psi\rangle.
  • Portanto, se V(x) for real e as funções estiverem no domínio apropriado, \hat{V} é hermitiano.

Passo 5

Provar que o termo cinético \hat{T}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} é hermitiano (integração por partes).
  • Escreva o produto interno: \langle \varphi|\hat{T}\psi\rangle = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(x)\,\psi''(x)\,dx,onde \psi''(x)=\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}(x).
  • Faça integração por partes duas vezes para mover as derivadas para \varphi^{*}. Primeiro, com u=\varphi^{*} e dv=\psi''(x)\,dx, temos du=(\varphi^{*})'\,dx e v=\psi'(x). Assim \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}\,\psi''\,dx = \big[\varphi^{*}\psi'\big]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})'\,\psi'\,dx.
  • Agora integramos por partes o segundo integral: com u=(\varphi^{*})' e dv=\psi'\,dx, então du=(\varphi^{*})''\,dx e v=\psi. Obtemos \int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})'\,\psi'\,dx = \big[(\varphi^{*})'\psi\big]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})''\,\psi\,dx.
  • Combinando as duas integrações por partes: \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}\,\psi''\,dx = \big[\varphi^{*}\psi' - (\varphi^{*})'\psi\big]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})''\,\psi\,dx.
  • Substituindo de volta em \langle \varphi|\hat{T}\psi\rangle: \langle \varphi|\hat{T}\psi\rangle = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left\{ \big[\varphi^{*}\psi' - (\varphi^{*})'\psi\big]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})''\,\psi\,dx \right\}.
  • Note que -\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} (\varphi^{*})''\,\psi\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''\right)^{*}\psi\,dx = \langle \hat{T}\varphi|\psi\rangle.
  • Assim \langle \varphi|\hat{T}\psi\rangle = \langle \hat{T}\varphi|\psi\rangle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\big[\varphi^{*}\psi' - (\varphi^{*})'\psi\big]_{-\infty}^{\infty}.
  • Para que \hat{T} seja hermitiano (i.e., \langle \varphi|\hat{T}\psi\rangle=\langle \hat{T}\varphi|\psi\rangle para todo \varphi,\psi no domínio), é necessário que o termo de contorno \big[\varphi^{*}(x)\psi'(x) - (\varphi^{*})'(x)\psi(x)\big]_{x=-\infty}^{x=+\infty}se anule. Isso ocorre, por exemplo, se \varphi e \psi e suas derivadas forem zero em \pm\infty (condição usual para funções de onda físicas em L^{2}(\mathbb{R})), ou mais formalmente se o domínio do operador for escolhido de modo a garantir esses termos nulos (p. ex. espaço de Sobolev adequado).
  • Portanto, sob as condições de contorno usuais (funções no domínio que fazem os termos de contorno desaparecerem), \hat{T} é hermitiano.

Passo 6

Concluir hermiticidade do Hamiltoniano \hat{H} e comentar sutilezas.
  • Como \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}, e já mostramos que \hat{V} é hermitiano quando V(x) é real e \hat{T} é hermitiano sob as condições de contorno apropriadas, segue que \hat{H} é hermitiano se:
    • V(x) é real para todo x;
    • as funções do domínio satisfazem as condições que anulam os termos de contorno (por exemplo, \psi,\psi',\varphi,\varphi'\to 0 quando x\to\pm\infty ou outras condições de contorno apropriadas).
  • Observação importante (que vale para provas mais teóricas): existe diferença técnica entre “simétrico” (a propriedade que verificámos: \langle\varphi|\hat A\psi\rangle=\langle\hat A\varphi|\psi\rangle no domínio) e “self-adjoint” (auto-adjunto) que exige igualdade entre domínio do operador e domínio do seu adjoint. Para o Hamiltoniano cinético mais potencial, com domínio bem escolhido (por exemplo, o domínio de Sobolev \mathcal{H}^{2}(\mathbb{R}) apropriado) obtém-se um operador auto-adjunto. Em muitas provas de graduação basta mostrar a simetria via integração por partes e as condições de contorno; isso é o que fizemos.
  • Motivação prática: nas questões de prova, é comum assumir as condições padrão de funções de onda físicas (quadro acima), então a demonstração por integração por partes e o uso de V(x) real convencem o examinador de que \hat{x} e \hat{H} são hermitianos.

Resposta

\hat{x} e \hat{H} são hermitianos, desde que V(x) seja real e o domínio do operador seja escolhido de modo que os termos de contorno \big[\varphi^{*}\psi'-(\varphi^{*})'\psi\big]_{-\infty}^{+\infty} se anulem (por exemplo, funções em L^{2}(\mathbb{R}) que vão a zero em \pm\infty).

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