Ar quente escoa através de um duto de seçāo retangular de 7,5 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm}. O Ar entra no duto com uma temperatura de mistura de 60^{\circ} \mathrm{C} e uma vazio mássica de 1,43 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. As paredes do duto têm temperatura constante igual a 4^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura do ar que deixa o duto for maior que 57^{\circ} \mathrm{C}, ficou decidido que o duto deveria ser isolado. Com base em seus cálculos você recomendaria o isolamento do duto?
Table 1: Propriedades do ar em T=330 K
\captionsetup{labelformat=empty}
\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{h}\right) \mathrm{k}(\mathrm{W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) v=\mu / \rho\left(\mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}\right) \mathrm{cp}(\mathrm{J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}) \operatorname{Pr}
1,059 0,028 19 \times 10^{6} 1008 0,703

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores da tabela enviada e do enunciado):
  • Seção retangular: 0,075\\ \mathrm{m}\times0,30\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura de entrada do ar: T_{\text{in}}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica: \dot m=1,43\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura das paredes (constante): T_{w}=4^\circ\mathrm{C}.
  • Critério: se a temperatura de saída for maior que 57^\circ\mathrm{C} então isolar o duto.
  • Propriedades do ar (peguei da tabela para T\approx330\\ \mathrm{K}):
    • \rho=1,059\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • k=0,028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • \nu (cinemática): na tabela consta 19\times10^{6} (isso parece um possível erro de escrita). Vou assumir \nu=19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e explicar que não tenho certeza dessa linha da tabela.
    • c_{p}=1008\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • \Pr=0,703
O que o problema pede: decidir, com base nos cálculos, se recomenda isolar o duto (ou seja, determinar se T_{\text{out}}>57^\circ\mathrm{C}). Observação: o enunciado não fornece o comprimento do duto L. Sem L não é possível dar uma resposta única; assim vou:
  • deduzir a expressão para T_{\text{out}} em função de L,
  • calcular os parâmetros de convecção (Reynolds, h) e
  • obter o comprimento crítico L_{\mathrm{crit}} para o qual T_{\text{out}}=57^\circ\mathrm{C}.
    Com isso você poderá aplicar a conclusão ao comprimento real do duto.

Passo 2

Calcular área da secção, perímetro molhado e diâmetro hidráulico (essas são fórmulas básicas para dutos retangulares).
  • Área da seção transversal:
A = 0,075\times0,30 = 0,0225\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P = 2(0,075+0,30)=0,75\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro hidráulico (definição para seção não circular):
D_{h}=\frac{4A}{P}=\frac{4\cdot0,0225}{0,75}=0,12\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular velocidade média do escoamento e o número de Reynolds (passo necessário para escolher a correlação de transferência de calor).
  • Vazão volumétrica:
\dot V=\frac{\dot m}{\rho}=\frac{1,43}{1,059}\approx1,3503\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Velocidade média:
U=\frac{\dot V}{A}=\frac{1,3503}{0,0225}\approx60,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{U D_{h}}{\nu}=\frac{60,0\cdot0,12}{19\times10^{-6}}\approx3{,}79\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx3{,}8\times10^{5} indica escoamento turbulento (Região totalmente turbulenta), portanto vamos usar correlações turbulentas para obter o coeficiente convectivo h.
Observação sobre \nu: usei \nu=19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} porque o valor da tabela parecia ter um erro de expoente; se o valor correto for diferente, os números mudam. Estou reportando essa suposição explicitamente porque não tenho outra informação.

Passo 4

Escolher correlação para Nusselt. Explicação didática curta:
  • Para escoamento interno turbulento em condutos com parede a temperatura constante, a correlação de Gnielinski é confiável para 3000<\mathrm{Re}<5\times10^{6} e 0{,}5<\Pr<200.
  • A correlação exige o fator de atrito f; uma fórmula prática (Petukhov) é
f=\Big(0,79\ln(\mathrm{Re})-1,64\Big)^{-2}.
Vou usar essas relações (são padrão em problemas de transferência convectiva).
Calcular f:
\ln(\mathrm{Re})\approx\ln(3{,}79\times10^{5})\approx12{,}84,
f=\Big(0,79\cdot12{,}84-1,64\Big)^{-2}\approx(8{,}505)^{-2}\approx0{,}0138.

Passo 5

Aplicar a correlação de Gnielinski para \mathrm{Nu}. A fórmula é:
\mathrm{Nu}=\frac{\dfrac{f}{8}(\mathrm{Re}-1000)\Pr}{1+12{,}7\left(\dfrac{f}{8}\right)^{1/2}(\Pr^{2/3}-1)}.
Substituindo:
  • f\approx0{,}0138,
  • \mathrm{Re}-1000\approx3{,}79\times10^{5}-1000\approx3{,}78\times10^{5},
  • \Pr=0{,}703.
Fazendo as contas (mostrando etapas principais):
\frac{f}{8}\approx0{,}001727,\qquad \left(\frac{f}{8}\right)^{1/2}\approx0{,}0416,
\text{numerador}\approx0{,}001727\cdot3{,}78\times10^{5}\cdot0{,}703\approx4{,}585\times10^{2},
\Pr^{2/3}\approx0{,}790\quad\Rightarrow\quad\Pr^{2/3}-1\approx-0{,}210,
\text{denominador}\approx1+12{,}7\cdot0{,}0416\cdot(-0{,}210)\approx0{,}889.
Portanto
\mathrm{Nu}\approx\frac{458{,}5}{0{,}889}\approx515{,}8.

Passo 6

Calcular o coeficiente de convecção h a partir de \mathrm{Nu}:
h=\frac{\mathrm{Nu}\;k}{D_{h}}=\frac{515{,}8\cdot0{,}028}{0{,}12}\approx120{,}4\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Explicação: \mathrm{Nu}=\dfrac{h D_{h}}{k} é a definição de Nusselt; resolve-se para h.

Passo 7

Montar o balanço de energia para um elemento de duto e obter a variação exponencial da temperatura ao longo do duto. Didática:
  • Considere um segmento de comprimento dx. A perda de energia por convecção na superfície desse segmento é q' = h P (T(x)-T_{w})\,dx.
  • A variação de energia do fluido é \dot m c_{p}\,dT.
  • Balanço (estado estacionário, sem geração interna):
\dot m c_{p}\,dT = -h P (T-T_{w})\,dx.
  • Rearranjando e integrando de x=0 (entrada) a x=L (saída):
\frac{dT}{T-T_{w}} = -\frac{hP}{\dot m c_{p}}\,dx \quad\Rightarrow\quad T(x)-T_{w}=(T_{\text{in}}-T_{w})\exp\!\Big(-\frac{hP}{\dot m c_{p}}x\Big).
Logo a temperatura de saída T_{\text{out}}=T(L) é
T_{\text{out}}=T_{w}+(T_{\text{in}}-T_{w})\exp\!\Big(-\frac{hP}{\dot m c_{p}}L\Big).
Aqui:
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • c_{p} é o calor específico ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}),
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • L é o comprimento do duto (m).

Passo 8

Calcular a constante exponencial por unidade de comprimento \alpha=\dfrac{hP}{\dot m c_{p}} e o comprimento crítico L_{\mathrm{crit}} tal que T_{\text{out}}=57^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro calcule \alpha:
hP \approx120{,}4\cdot0{,}75\approx90{,}3\\ \mathrm{W/K\;por\;m},
\dot m c_{p}=1,43\cdot1008\approx1441{,}4\\ \mathrm{W/K},
\alpha=\frac{hP}{\dot m c_{p}}\approx\frac{90{,}3}{1441{,}4}\approx0{,}0626\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Agora imponha T_{\text{out}}=57^\circ\mathrm{C}. Usando T_{w}=4^\circ\mathrm{C} e T_{\text{in}}=60^\circ\mathrm{C}:
T_{\text{out}}-T_{w}=(T_{\text{in}}-T_{w})e^{-\alpha L} \quad\Rightarrow\quad \frac{53}{56}=e^{-\alpha L}
porque 57-4=53 e 60-4=56.
  • Tomando logaritmo:
L_{\mathrm{crit}}=-\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{53}{56}\right) \approx\frac{0{,}05511}{0{,}0626}\approx0{,}88\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se o duto tiver L=0{,}88\\ \mathrm{m} então a temperatura de saída será exatamente 57^\circ\mathrm{C}. Para L maior que isso, T_{\text{out}}<57^\circ\mathrm{C}; para L menor, T_{\text{out}}>57^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Ilustração com alguns valores práticos (usar a fórmula exponencial já encontrada):
T_{\text{out}}=4+(60-4)\exp(-0{,}0626\,L)=4+56\exp(-0{,}0626\,L).
  • Para L=0{,}5\\ \mathrm{m}: \exp(-0{,}0626\cdot0{,}5)\approx0{,}969 T_{\text{out}}\approx58{,}3^\circ\mathrm{C} (> 57^\circ\mathrm{C}).
  • Para L=1{,}0\\ \mathrm{m}: \exp(-0{,}0626\cdot1)\approx0{,}939 T_{\text{out}}\approx56{,}6^\circ\mathrm{C} (< 57^\circ\mathrm{C}).
  • Para L=10\\ \mathrm{m}: \exp(-0{,}626)\approx0{,}535 T_{\text{out}}\approx33{,}9^\circ\mathrm{C} (bem abaixo de 57^\circ\mathrm{C}).

Passo 10

Discussão de incertezas e hipóteses (essenciais para aplicar o resultado em prova e no mundo real):
  • Assumi \nu=19\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} porque a tabela tinha um provável erro de expoente; se \nu for diferente, \mathrm{Re}, f, \mathrm{Nu} e h mudam e o L_{\mathrm{crit}} se altera.
  • Usei correlação de Gnielinski (válida para escoamento turbulento e as faixas de \mathrm{Re} e \Pr do problema) e propriedades avaliadas aproximadamente a 330\\ \mathrm{K} (conforme a tabela). Isso é padrão em exercícios: avaliar propriedades em uma temperatura média (temperatura de filme).
  • Pressupus paredes a 4^\circ\mathrm{C} estáticas e propriedades constantes com x. Se, na prática, as paredes aquecerem ou houver troca de calor por radiação, resultados mudam.
  • Resultado final (o comprimento crítico) é razoável: a escala de resfriamento encontrada (~ 1{,}6\times10^{1}\\ \mathrm{m} como comprimento de decaimento para fator 1/e, já que 1/\alpha\approx15{,}96\\ \mathrm{m}) significa que quedas pequenas (alguns metros) reduzem bastante a temperatura, então só dutos muito curtos mantêm a saída acima de 57^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Não é possível afirmar sem conhecer o comprimento do duto L.
O comprimento crítico para que T_{\text{out}}=57^\circ\mathrm{C} é L_{\mathrm{crit}}\approx0{,}88\\ \mathrm{m}.
Portanto: se L>0{,}88\\ \mathrm{m} não recomendo isolamento; se L<0{,}88\\ \mathrm{m} recomendo isolamento.

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