Questão 8

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[CÁLCULO SIMPLIFICADO] O título do Tesouro Direto chamado IPCA+, oficialmente denominado NTN-B, é um título que paga juros + variação do IPCA e não paģa cupons. A taxa de juros anual é formada na data da compra do título, correspondendo ao valor pago versus o valor de face do título a ser pago no vencimento. Considere a taxa de juros na data da compra em \mathbf{7 , 6 5 \%} e vencimento em \mathbf{3} anos.
Nota: a NTN-B adota o cálculo como de juros efetivos anuais baseados em dias úteis menos feriados e padrão de 252 dias para um ano. Por simplificação, adote capitalização anuat
Considerando um valor nominal atualizado (VNA) de face do título de \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{4 . 3 9 7} ,63, qual o valor pago na compra do título? (VNA corresponde a Rí$1,000,00$ em julho de 2000 corrigido pelo IPCA para janeiro de 2025)
margem de erro: 0,01
responda apenas o número, duas casas decimais, sem símbolo de R$
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: qual o valor pago hoje (preço) de um título zero-cupom com valor nominal atualizado (VNA) de \,4.397,63 que vence em 3 anos, quando a taxa de juros anual na data da compra é \,7,65\%.
Dados fornecidos:
  • VNA = 4.397,63 (valor a ser recebido no vencimento);
  • taxa anual i = 7,65\% = 0,0765;
  • prazo n = 3 anos.
    O que se pede: o preço do título hoje, supondo capitalização anual (zero-cupom, sem cupons).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (present value de um título zero-cupom):
P = \dfrac{VNA}{(1+i)^n},
onde:
  • P é o preço (valor pago hoje);
  • VNA é o valor nominal a ser recebido no vencimento;
  • i é a taxa de juros anual (em formato decimal);
  • n é o número de períodos (anos).
    Explicando didaticamente: essa fórmula vem da ideia de que VNA é o montante acumulado após n anos a uma taxa i; para saber quanto vale isso hoje, desfaz-se a capitalização dividindo pelo fator (1+i)^n.

Passo 3

Calcular o fator de desconto (1+i)^n. Primeiro escrevemos (1+i)=1,0765. Agora elevamos ao cubo com cálculo passo a passo:
1,0765^2 = 1,15885225
(obtido multiplicando 1,0765\times1,0765). Em seguida
1,0765^3 = 1,15885225\times1,0765 = 1,247504447125.
Portanto o fator (1+i)^n = 1,247504447125.

Passo 4

Aplicar a fórmula do preço:
P = \dfrac{4.397,63}{1,247504447125}.
Agora realizamos a divisão de forma explícita e controlada. Uma aproximação cuidadosa dá:
P \approx 3.525,141746\ldots
Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido): P = 3.525,14.

Passo 5

Breve verificação: multiplicando o preço encontrado pelo fator de acumulação deve retornar aproximadamente o VNA:
3.525,14\times1,247504447125 \approx 4.397,63,
o que confirma que o cálculo está coerente.

Resposta

3525,14

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