Questão 5

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Seja um título financeiro prefixado do Tesouro, denominado LTN, com valor de face de R$ 1.000,00 com vencimento em 3 anos comprado por investidor com taxa de juros de 14,87%aa.
Qual o valor pago pelo investidor na compra do título?
margem de erro: 0,01
responda apenas o número, duas casas decimais, sem símbolo de R$
Resposta: □

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
  • Valor de face (valor pago no vencimento): F = 1.000,00.
  • Prazo até o vencimento: n = 3 anos.
  • Taxa de juros procurada pelo investidor (taxa de desconto/retorno): i = 14{,}87\%\\ \text{a.a.}.
O enunciado pergunta: qual o valor pago pelo investidor na compra do título (ou seja, o preço hoje do título)?

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (mini-aula rápida e prática). Um título prefixado do tipo LTN é um título de cupom zero: ele não paga juros intermediários, apenas paga F no vencimento. O valor hoje P é o valor presente desse pagamento futuro descontado à taxa de mercado do investidor. A fórmula do valor presente de um pagamento único é:
P = \frac{F}{(1+i)^{n}},
onde:
  • P é o preço (valor pago hoje);
  • F é o valor de face (montante recebido no vencimento);
  • i é a taxa de juros por período (aqui, por ano), expressa em forma decimal;
  • n é o número de períodos (anos) até o vencimento.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: receber F daqui a n anos vale hoje menos, porque o dinheiro poderia render à taxa i. Para trazer F para hoje, divide-se por (1+i)^n, que é o fator de acumulação ao longo de n anos.

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro transformar a taxa percentual em decimal:
i = 14{,}87\% = 0{,}1487.
Aplicando na fórmula:
P = \frac{1.000,00}{(1+0{,}1487)^{3}}.

Passo 4

Calcular passo a passo o denominador (1+i)^{3}.
Primeiro:
1+i = 1+0{,}1487 = 1{,}1487.
Agora elevar ao quadrado usando a identidade (1+a)^2 = 1+2a+a^2 com a=0{,}1487:
(1{,}1487)^{2} = 1 + 2\cdot0{,}1487 + (0{,}1487)^{2}.
Calcular cada termo:
2\cdot0{,}1487 = 0{,}2974, \qquad (0{,}1487)^{2} = 0{,}02211169.
Logo
(1{,}1487)^{2} = 1 + 0{,}2974 + 0{,}02211169 = 1{,}31951169.
Agora multiplicar por 1{,}1487 para obter o cubo:
(1{,}1487)^{3} = 1{,}31951169 \times 1{,}1487.
Para multiplicar, usei a decomposição 1{,}1487 = 1 + 0{,}1487:
1{,}31951169\times1{,}1487 = 1{,}31951169 + 1{,}31951169\times0{,}1487.
Calcular 1{,}31951169\times0{,}1487 (faça por partes: 0{,}1487=0{,}15-0{,}0013):
1{,}31951169\times0{,}15 = 0{,}1979267535, \qquad 1{,}31951169\times0{,}0013 = 0{,}001715365197.
Subtraindo:
1{,}31951169\times0{,}1487 \approx 0{,}1979267535 - 0{,}001715365197 = 0{,}196211388303.
Assim
(1{,}1487)^{3} \approx 1{,}31951169 + 0{,}196211388303 = 1{,}515723078303.

Passo 5

Agora calcular o preço:
P = \frac{1.000{,}00}{1{,}515723078303}.
Uma forma prática de dividir é estimar o recíproco de 1{,}515723078303. Observação útil: 0{,}66\times1{,}515723078303 = 1{,}00037723168, ligeiramente maior que 1. Isso indica que o recíproco está um pouco abaixo de 0{,}66. Testando 0{,}65975:
0{,}65975\times1{,}515723078303 \approx 0{,}9999983009\approx1,
portanto
\frac{1}{1{,}515723078303}\approx 0{,}659750021.
Multiplicando por 1.000{,}00:
P \approx 1.000{,}00\times0{,}659750021 = 659{,}750021.
Arredondando para duas casas decimais (regra usual: olhar a terceira casa decimal, aqui é 0, então mantém):
P \approx 659{,}75.

Passo 6

Pequeno resumo motivador: o preço é o que se paga hoje para receber 1.000{,}00 daqui a 3 anos, descontando pela taxa anual de 14{,}87\%. A conta concreta deu 659{,}75: ou seja, o investidor paga cerca de 659{,}75 hoje para obter 1.000{,}00 em três anos, garantindo o retorno pedido.

Resposta

659,75

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