Questão 5
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Seja um título financeiro prefixado do Tesouro, denominado LTN, com valor de face de R$
com vencimento em 3 anos comprado por investidor com taxa de juros de 14,87%aa.
Qual o valor pago pelo investidor na compra do título?
margem de erro: 0,01
responda apenas o número, duas casas decimais, sem símbolo de R$
Resposta: □
margem de erro: 0,01
responda apenas o número, duas casas decimais, sem símbolo de R$
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
- Valor de face (valor pago no vencimento):
. - Prazo até o vencimento:
anos. - Taxa de juros procurada pelo investidor (taxa de desconto/retorno):
.
O enunciado pergunta: qual o valor pago pelo investidor na compra do título (ou seja, o preço hoje do título)?
Passo 2
Entendendo a fórmula que vamos usar (mini-aula rápida e prática). Um título prefixado do tipo LTN é um título de cupom zero: ele não paga juros intermediários, apenas paga
no vencimento. O valor hoje
é o valor presente desse pagamento futuro descontado à taxa de mercado do investidor. A fórmula do valor presente de um pagamento único é:
onde:
-
é o preço (valor pago hoje); -
é o valor de face (montante recebido no vencimento); -
é a taxa de juros por período (aqui, por ano), expressa em forma decimal; -
é o número de períodos (anos) até o vencimento.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: receber
daqui a
anos vale hoje menos, porque o dinheiro poderia render à taxa
. Para trazer
para hoje, divide-se por
, que é o fator de acumulação ao longo de
anos.
Passo 3
Substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro transformar a taxa percentual em decimal:
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Calcular passo a passo o denominador
.
Primeiro:
Primeiro:
Agora elevar ao quadrado usando a identidade
com
:
Calcular cada termo:
Logo
Agora multiplicar por
para obter o cubo:
Para multiplicar, usei a decomposição
:
Calcular
(faça por partes:
):
Subtraindo:
Assim
Passo 5
Agora calcular o preço:
Uma forma prática de dividir é estimar o recíproco de
. Observação útil:
, ligeiramente maior que
. Isso indica que o recíproco está um pouco abaixo de
. Testando
:
portanto
Multiplicando por
:
Arredondando para duas casas decimais (regra usual: olhar a terceira casa decimal, aqui é
, então mantém):
Passo 6
Pequeno resumo motivador: o preço é o que se paga hoje para receber
daqui a
anos, descontando pela taxa anual de
. A conta concreta deu
: ou seja, o investidor paga cerca de
hoje para obter
em três anos, garantindo o retorno pedido.