Repita o exercício anterior para os seguintes campos de tensão bidimensionais:
[sigma] & =[cc 4 x^3 y & 2 x y 2 x y & 5 cos y ] [MPa] [sigma] & =[cc 2 x^2-y & 0 0 & -2 x^2+y ] [MPa]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos dois campos de tensão bidimensionais representados por matrizes, e precisamos realizar o mesmo tipo de análise que fizemos no exercício anterior. O conteúdo aqui envolve tensões em materiais, representação por matrizes e cálculo das tensões principais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro campo de tensão:
[sigma] = 4x^3y & 2xy 2xy & 5cos y [MPa]

Passo 3

A gente quer encontrar as tensões principais desse campo de tensão. As tensões principais são os autovalores da matriz de tensões, ou seja, valores de lambda que satisfazem a equação det([sigma] - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz [sigma] - lambda I:
4x^3y - lambda & 2xy 2xy & 5cos y - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
(4x^3y - lambda)(5cos y - lambda) - (2xy)(2xy) = 0

Passo 5

Expandindo a expressão:
lambda^2 - (4x^3y + 5cos y)lambda + (20x^3y cos y - 4x^2y^2) = 0
Essa é uma equação quadrática em lambda. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = (4x^3y + 5cos y) pm raiz(4x^3y + 5cos y)^2 - 4 cdot 1 cdot (20x^3y cos y - 4x^2y^2)2

Passo 6

Simplificando a raiz quadrada:
raiz(4x^3y + 5cos y)^2 - 80x^3y cos y + 16x^2y^2
Essa expressão pode ser simplificada dependendo dos valores de x e y, mas em geral, fornece os dois valores de lambda que são as tensões principais.

Passo 7

Assim, as tensões principais para o primeiro campo de tensão são:
lambda1,2 = 4x^3y + 5cos y pm raiz(4x^3y + 5cos y)^2 - 80x^3y cos y + 16x^2y^22

Passo 8

Agora, vamos analisar o segundo campo de tensão:
[sigma] = 2x^2 - y & 0 0 & -2x^2 + y [MPa]

Passo 9

Nesse caso, a matriz de tensões é diagonal, o que simplifica bastante o cálculo das tensões principais, pois os autovalores são os próprios elementos da diagonal.

Passo 10

Portanto, as tensões principais são simplesmente:
lambda1 = 2x^2 - y
e
lambda2 = -2x^2 + y

Resposta

Para os campos de tensão bidimensionais fornecidos, as tensões principais são:
  1. Para
[sigma] = 4x^3y & 2xy 2xy & 5cos y [MPa]
as tensões principais são:
lambda1,2 = 4x^3y + 5cos y pm raiz(4x^3y + 5cos y)^2 - 80x^3y cos y + 16x^2y^22
  1. Para
[sigma] = 2x^2 - y & 0 0 & -2x^2 + y [MPa]
as tensões principais são:
lambda1 = 2x^2 - y
e
lambda2 = -2x^2 + y

Exercícios relacionados