Repita o exercício anterior para os seguintes campos de tensão bidimensionais:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos dois campos de tensão bidimensionais representados por matrizes, e precisamos realizar o mesmo tipo de análise que fizemos no exercício anterior. O conteúdo aqui envolve tensões em materiais, representação por matrizes e cálculo das tensões principais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro campo de tensão:
Passo 3
A gente quer encontrar as tensões principais desse campo de tensão. As tensões principais são os autovalores da matriz de tensões, ou seja, valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Essa é uma equação quadrática em
. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Simplificando a raiz quadrada:
Essa expressão pode ser simplificada dependendo dos valores de
e
, mas em geral, fornece os dois valores de
que são as tensões principais.
Passo 7
Assim, as tensões principais para o primeiro campo de tensão são:
Passo 8
Agora, vamos analisar o segundo campo de tensão:
Passo 9
Nesse caso, a matriz de tensões é diagonal, o que simplifica bastante o cálculo das tensões principais, pois os autovalores são os próprios elementos da diagonal.
Passo 10
Portanto, as tensões principais são simplesmente:
e
Resposta
Para os campos de tensão bidimensionais fornecidos, as tensões principais são:
- Para
as tensões principais são:
- Para
as tensões principais são:
e