No ponto crítico de um reservatório, o estado de tensões associado a um sistema é dado pelo tensor abaixo. Calcule as tensões equivalentes segundo as teorias TMTC, TMED e TMTN.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um tensor de tensões num ponto crítico de um reservatório e precisa calcular as tensões equivalentes segundo três teorias: TMTC, TMED e TMTN. Isso envolve entender como diferentes critérios avaliam o estado de tensão para prever falhas no material. Para resolver, vamos precisar trabalhar com o tensor de tensões fornecido e aplicar as fórmulas específicas de cada teoria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o tensor de tensões que você me deu:
Aqui, as componentes sigmaxx, sigmayy e sigmazz são 60, 60 e 80 MPa, respectivamente, e as componentes de cisalhamento sigmaxy, sigmaxz e sigmayz são -30, 0 e 0 MPa.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor segundo a teoria TMTC. Supondo que TMTC corresponde ao Critério de Tresca, que considera a máxima diferença entre tensões principais. Para isso, precisamos encontrar as tensões principais primeiro.
Passo 4
As tensões principais são as soluções da equação característica do tensor de tensões. No nosso caso, dado que o tensor é simétrico, podemos calcular diretamente as tensões principais. Observando o tensor, percebemos que sigmaxx = sigmayy = 60 MPa e sigmazz = 80 MPa. Portanto, as tensões principais são 60, 60 e 80 MPa.
Passo 5
Aplicando o Critério de Tresca (TMTC), a tensão equivalente é a máxima diferença entre as tensões principais:
sigmaeq^Tresca = max(sigma1 - sigma2)
Aqui, as diferenças possíveis são:
80 - 60 = 20 MPa
60 - 60 = 0 MPa
Portanto,
sigmaeq^Tresca = 20 , MPa
Passo 6
Agora, vamos para a teoria TMED. Vamos supor que TMED corresponde ao Critério de Von Mises, que é baseado na energia de distorção e é calculado pela fórmula:
Por último, vamos calcular a tensão equivalente segundo a teoria TMTN. Suponhamos que TMTN corresponda ao Critério de Máxima tensão normal, que simplesmente considera a maior tensão principal. Portanto: