No ponto crítico de um reservatório, o estado de tensões associado a um sistema (x, y, z) é dado pelo tensor abaixo. Calcule as tensões equivalentes segundo as teorias TMTC, TMED e TMTN.
[sigma]=[ccc 60 & -30 & 0 -30 & 60 & 0 0 & 0 & 80 ] [MPa]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um tensor de tensões num ponto crítico de um reservatório e precisa calcular as tensões equivalentes segundo três teorias: TMTC, TMED e TMTN. Isso envolve entender como diferentes critérios avaliam o estado de tensão para prever falhas no material. Para resolver, vamos precisar trabalhar com o tensor de tensões fornecido e aplicar as fórmulas específicas de cada teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tensor de tensões que você me deu:
[sigma]=[ccc 60 & -30 & 0 -30 & 60 & 0 0 & 0 & 80 ] [MPa]
Aqui, as componentes sigmaxx, sigmayy e sigmazz são 60, 60 e 80 MPa, respectivamente, e as componentes de cisalhamento sigmaxy, sigmaxz e sigmayz são -30, 0 e 0 MPa.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor segundo a teoria TMTC. Supondo que TMTC corresponde ao Critério de Tresca, que considera a máxima diferença entre tensões principais. Para isso, precisamos encontrar as tensões principais primeiro.

Passo 4

As tensões principais são as soluções da equação característica do tensor de tensões. No nosso caso, dado que o tensor é simétrico, podemos calcular diretamente as tensões principais. Observando o tensor, percebemos que sigmaxx = sigmayy = 60 MPa e sigmazz = 80 MPa. Portanto, as tensões principais são 60, 60 e 80 MPa.

Passo 5

Aplicando o Critério de Tresca (TMTC), a tensão equivalente é a máxima diferença entre as tensões principais:
sigmaeq^Tresca = max(sigma1 - sigma2)
Aqui, as diferenças possíveis são:
  • 80 - 60 = 20 MPa
  • 60 - 60 = 0 MPa
Portanto,
sigmaeq^Tresca = 20 , MPa

Passo 6

Agora, vamos para a teoria TMED. Vamos supor que TMED corresponde ao Critério de Von Mises, que é baseado na energia de distorção e é calculado pela fórmula:
sigmaeq^Von Mises = raiz12[(sigmax - sigmay)^2 + (sigmay - sigmaz)^2 + (sigmaz - sigmax)^2]
Substituindo os valores:
sigmaeq^Von Mises = raiz12[(60 - 60)^2 + (60 - 80)^2 + (80 - 60)^2] = raiz12[0 + 400 + 400] = raiz400 = 20 , MPa

Passo 7

Por último, vamos calcular a tensão equivalente segundo a teoria TMTN. Suponhamos que TMTN corresponda ao Critério de Máxima tensão normal, que simplesmente considera a maior tensão principal. Portanto:
sigmaeq^Máxima Tensão = sigmamáx = 80 , MPa áãá

Resposta

As tensões equivalentes são:
  • TMTC (Tresca): 20 MPa
  • TMED (Von Mises): 20 MPa
  • TMTN (Máxima Tensão Normal): 80 MPa

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