Os resultados apresentados na Tabela abaixo foram obtidos a partir de ruptura de corpos de prova de amostras de areia compactada, em ensaios de cisalhamento direto. Com base nos dados, determine os parâmetros de resistência ( C^prime e phi^prime ).
Ensaio Gruptura (kPa) Truptura (kPa)
1 50 44
2 100 80
3 200 128
4 400 240

Passo 1

O ensaio é de cisalhamento direto em que se mede o esforço normal sigma e o esforço de ruptura tau. Pela lei de Mohr-Coulomb em drenagem temos
tau = C' + sigma,tan(phi')
onde C' é a coesão eficaz e phi' é o ângulo de atrito interno. Nosso objetivo é ajustar uma reta do tipo
tau = b + m,sigma
aos quatro pares (sigmai,taui) e então identificar b=C' e m=tan(phi').

Passo 2

Para fazer o ajuste por mínimos quadrados, calculamos os somatórios
sumsigmai, sumtaui, sumsigmaitaui, sumsigmai^2
usando os dados
(sigmai,taui) = (50,44),,(100,80),,(200,128),,(400,240)
Logo,
sumsigmai = 50+100+200+400 = 750,
sumtaui = 44+80+128+240 = 492,
sumsigmaitaui = 50cdot44 +100cdot80 +200cdot128 +400cdot240 = 131800,
sumsigmai^2 = 50^2+100^2+200^2+400^2 = 212500

Passo 3

A inclinação m da reta de regressão é dada por
m = nsumsigmaitaui ;-;(sumsigmai)(sumtaui) ,nsumsigmai^2 - (sumsigmai)^2,,
onde n=4. Substituindo,
m = 4cdot131800 - 750cdot4924cdot212500 - 750^2 = 527200 - 369000850000 - 562500 = 158200287500 approx 0,5501

Passo 4

O coeficiente linear b é
b = sumtaui - m,sumsigmain = 492 - 0,5501cdot7504 = 492 - 412,5754 approx 19,86
Em termos de Mohr-Coulomb, b = C'.

Passo 5

Como m = tan(phi'), temos
phi' = arctan(0,5501)approx 28,8^circ,
e já vimos que C' = b approx 19,9 kPa.

Resposta

C' approx 19,9;kPa
phi' approx 28,8^circ

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