1. 5 Um retificador de onda completa com terminal central é alimentado por uma fonte de 120 V . Se a indutância da carga for muito maior do que sua resistência, determine a tensào média de saída para os seguintes ângulos de disparo:
    b) 60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede a tensão média de saída de um retificador de onda completa com terminal central, com carga muito indutiva (indutância >> resistência), para o ângulo de disparo \(60^\circ). As informações que temos:
  • Fonte senoidal com tensão eficaz \(V_{\text{sec(rms)}} = 120\\ \text{V}) (assumo que esse valor refere-se à tensão entre os terminais extremos da secundária do transformador, ou seja, a tensão total do secundário).
  • Retificador: onda completa com terminal central (cada meia-secundária fornece a sua meia-onda).
  • Carga fortemente indutiva → corrente praticamente contínua (não zera dentro do ciclo).
  • Ângulo de disparo: \(\alpha = 60^\circ).
    O que é pedido: calcular a tensão média de saída \(V_{dc}) para \(\alpha=60^\circ).

Passo 2

Entendendo o funcionamento e definindo as tensões:
  • Em um retificador com terminal central, cada meia-secundária tem metade da tensão eficaz da secundária total. Assim,
V_{h(\text{rms})}=\frac{V_{\text{sec(rms)}}}{2}.
  • A amplitude (pico) da meia-secundária é
V_h = \sqrt{2}\,V_{h(\text{rms})}.
  • Como a carga é muito indutiva, a corrente é contínua e cada tiristor (ou dispositivo) conduz numa metade do ciclo a partir do instante de disparo \(\alpha) até \(\pi) (na outra metade o outro tiristor conduz de \(\pi+\alpha) até \(2\pi)). O sinal da tensão aplicada ao resistor da carga é sempre positivo nessas regiões de condução (o circuito é projetado para fornecer polaridade fixa ao load).
    Agora vamos escrever matematicamente a média no período. A tensão instantânea fornecida durante cada meia-onda conduzida é \(v(t)=V_h\sin\omega t) no intervalo \(\omega t\in[\alpha,\pi]) e, por simetria, outro intervalo equivalente na outra metade do ciclo. A média sobre um período T=2\pi/\omega é
V_{dc}=\frac{1}{T}\left( \int_{\alpha/\omega}^{\pi/\omega} V_h\sin\omega t\,dt \;+\; \int_{(\pi+\alpha)/\omega}^{2\pi/\omega} V_h|\sin\omega t|\,dt \right).
Por simetria as duas integrais são iguais, portanto
V_{dc}=\frac{2}{T}\int_{\alpha/\omega}^{\pi/\omega} V_h\sin\omega t\,dt.
Fazendo a mudança \(\theta=\omega t) e usando \(T=2\pi/\omega), obtemos
V_{dc}=\frac{\omega}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi} V_h\sin\theta\;\frac{d\theta}{\omega} =\frac{V_h}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calculando a integral:
\int_{\alpha}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_{\alpha}^{\pi} = -\cos\pi + \cos\alpha = 1+\cos\alpha.
Logo a expressão fechada para a tensão média é
V_{dc}=\frac{V_h}{\pi}\,(1+\cos\alpha).

Passo 3

Agora relacionamos V_h com o dado numérico \(V_{\text{sec(rms)}}=120\\ \text{V}). Como cada meia-secundária tem metade da tensão eficaz:
V_{h(\text{rms})}=\frac{120}{2}=60\\ \text{V}.
O pico da meia-secundária é
V_h=\sqrt{2}\,V_{h(\text{rms})}=\sqrt{2}\cdot 60=60\sqrt{2}\\ \text{V}.
Substituindo na fórmula e usando \(\alpha=60^\circ) com \(\cos60^\circ=\tfrac{1}{2}):
V_{dc}=\frac{60\sqrt{2}}{\pi}\left(1+\tfrac{1}{2}\right) =\frac{60\sqrt{2}}{\pi}\cdot\frac{3}{2} =\frac{90\sqrt{2}}{\pi}\\ \text{V}.

Passo 4

Cálculo numérico final:
\sqrt{2}\approx 1{,}41421\quad\Rightarrow\quad 90\sqrt{2}\approx 127{,}279
V_{dc}\approx \frac{127{,}279}{3{,}14159}\approx 40{,}53\\ \text{V}.

Resposta

40{,}53\\ \text{V}

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