Sabendo que a área total do corpo humano é aproximadamente de 1,20 \mathrm{~m}^{2}, e que a temperatura da superfície é 30^{\circ} \mathrm{C}, (a) calcule a taxa total de transferência de calor do corpo por radiação. (b) Se o meio ambiente está a uma temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C}, qual é a taxa resultante do calor perdido pelo corpo por radiação? A emissividade do corpo é de cerca de 0,98 , independentemente da pigmentação da pele.

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Área da superfície do corpo: A=1,20\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura da superfície do corpo: t_{\rm corpo}=30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente para a parte (b): t_{\rm amb}=5^{\circ}\mathrm{C}.
  • Emissividade do corpo: \varepsilon=0,98.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a taxa total de transferência de calor do corpo por radiação (potência radiada pelo corpo).
    • (b) Para t_{\rm amb}=5^{\circ}\mathrm{C}, calcular a taxa resultante do calor perdido pelo corpo por radiação (potência líquida perdida por radiação).

Passo 2

Principais fórmulas e conversões que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A lei de Stefan–Boltzmann para um corpo cinza (emissividade \varepsilon) diz que a potência radiada por toda a superfície é
P_{\rm emit}=\varepsilon\,\sigma\,A\,T_{\rm corpo}^{4},
onde:
  • \varepsilon é a emissividade (adimensional),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • A é a área em \mathrm{m}^{2},
  • T_{\rm corpo} é a temperatura absoluta em kelvin \mathrm{K}.
  • Quando há um ambiente a temperatura T_{\rm amb}, a potência líquida (perda) por radiação é dada por
\dot Q_{\rm rad}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{\rm corpo}^{4}-T_{\rm amb}^{4}\right),
porque o corpo emite por sua temperatura e recebe radiação do ambiente à temperatura T_{\rm amb}; a diferença é o fluxo líquido.
  • Converter Celsius para Kelvin:
T = t + 273{,}15.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin e calcular potências (parte a parte):
  • Temperatura do corpo:
T_{\rm corpo}=30^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do ambiente (para a parte (b)):
T_{\rm amb}=5^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15=278{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calculamos T_{\rm corpo}^{4} e T_{\rm amb}^{4} (apresento valores arredondados com precisão suficiente para a prova):
T_{\rm corpo}^{4}\approx 8{,}446\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}, \qquad T_{\rm amb}^{4}\approx 5{,}987\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
(esses valores vêm de elevar 303{,}15 e 278{,}15 à quarta potência; é suficiente usar essa notação científica para calcular a potência.)

Passo 4

Cálculo da potência total radiada pelo corpo (resposta da parte (a)):
Usando \;P_{\rm emit}=\varepsilon\,\sigma\,A\,T_{\rm corpo}^{4}\;,
P_{\rm emit}=0{,}98\times(5{,}670374419\times10^{-8})\times(1{,}20)\times(8{,}446\times10^{9}).
Fazendo as multiplicações (pipocando etapas):
0{,}98\times1{,}20=1{,}176,
1{,}176\times5{,}670374419\times10^{-8}\approx6{,}668\times10^{-8},
6{,}668\times10^{-8}\times8{,}446\times10^{9}\approx5{,}63\times10^{2}\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência total radiada pelo corpo é aproximadamente 5,63\times10^{2}\\ \mathrm{W} (isto é, cerca de 563\\ \mathrm{W}).

Passo 5

Cálculo da potência líquida de perda por radiação quando o ambiente está a 5^{\circ}\mathrm{C} (parte (b)):
Usando \;\dot Q_{\rm rad}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{\rm corpo}^{4}-T_{\rm amb}^{4}\right)\;,
\dot Q_{\rm rad}=0{,}98\times(5{,}670374419\times10^{-8})\times(1{,}20)\times\big(8{,}446\times10^{9}-5{,}987\times10^{9}\big).
Calcule a diferença:
T_{\rm corpo}^{4}-T_{\rm amb}^{4}\approx 2{,}459\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Usando o mesmo fator combinado \varepsilon\sigma A\approx6{,}668\times10^{-8},
\dot Q_{\rm rad}\approx6{,}668\times10^{-8}\times2{,}459\times10^{9}\approx1{,}64\times10^{2}\\ \mathrm{W}.
Ou seja, a perda líquida por radiação é cerca de 1,64\times10^{2}\\ \mathrm{W} (aproximadamente 164\\ \mathrm{W}).
Observação rápida de checagem (útil na prova): a potência recebida do ambiente por radiação seria P_{\rm abs}=\varepsilon\sigma A T_{\rm amb}^{4}\approx 3,99\times10^{2}\\ \mathrm{W}. Então P_{\rm emit}\approx563\\ \mathrm{W} menos P_{\rm abs}\approx399\\ \mathrm{W} dá o \dot Q_{\rm rad}\approx164\\ \mathrm{W} encontrado — coerente.

Resposta

(a) P_{\rm emit}\approx5,63\times10^{2}\\ \mathrm{W}
(b) \dot Q_{\rm rad}\approx1,64\times10^{2}\\ \mathrm{W}

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