Considerando um sistema de bombeamento, no qual uma bomba, com rendimento de 75 \% e energia na entrada e saida da bomba, respectivamente, de 149.44 e 217.92 m , transporta água com uma vazão de 15 \mathrm{l} / \mathrm{s}. determine a potência fornecida pela bomba.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • rendimento (eficiência) da bomba: \eta = 75\% = 0,75.
    • energia específica (ou “head”) na entrada da bomba: E_{\text{in}} = 149{,}44\\ \mathrm{m}.
    • energia específica na saída da bomba: E_{\text{out}} = 217{,}92\\ \mathrm{m}.
    • vazão volumétrica de água: Q = 15\\ \mathrm{l/s}.
  • Observações sobre unidades:
    • 15\\ \mathrm{l/s} = 0{,}015\\ \mathrm{m^3/s} (conversão necessária).
    • Para água usaremos massa específica \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O enunciado pede: determinar a potência fornecida pela bomba.
    Para ficar completo, vamos calcular (1) a potência hidráulica entregue ao fluido (potência útil) e (2) a potência na entrada da bomba (potência fornecida ao conjunto elétrico/shaft), usando o rendimento dado.

Passo 2

Calcular a variação de energia específica (diferença de head) proporcionada pela bomba.
  • A variação de head é a diferença entre saída e entrada:
\Delta h = E_{\text{out}} - E_{\text{in}}.
  • Substituindo os valores:
\Delta h = 217{,}92 - 149{,}44 = 68{,}48\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Converter a vazão para unidades compatíveis e calcular a vazão mássica.
  • Converter Q:
Q = 15\\ \mathrm{l/s} = 0{,}015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica \dot{m} (massa por segundo):
\dot{m} = \rho\,Q.
  • Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
\dot{m} = 1000 \times 0{,}015 = 15\\ \mathrm{kg/s}.
(Interpretar: passam 15\\ \mathrm{kg} de água por segundo.)

Passo 4

Explicar a fórmula da potência hidráulica (potência entregue ao fluido).
  • A potência hidráulica P_{\text{hid}} corresponde à energia por unidade de tempo que a bomba adiciona ao fluido. Para um fluido incompressível:
P_{\text{hid}} = \dot{m}\,g\,\Delta h.
  • Alternativamente, usando \dot{m}=\rho Q:
P_{\text{hid}} = \rho\,Q\,g\,\Delta h.
  • Significado das variáveis:
    • \rho: massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^3}).
    • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
    • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
    • \Delta h: diferença de head ou energia específica adicionada ( \mathrm{m}).
    • P_{\text{hid}}: potência em watts ( \mathrm{W}).

Passo 5

Calcular numericamente a potência hidráulica passo a passo.
  • Usando \dot{m}=15\\ \mathrm{kg/s}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \Delta h = 68{,}48\\ \mathrm{m}:
P_{\text{hid}} = \dot{m}\,g\,\Delta h = 15 \times 9{,}81 \times 68{,}48.
  • Calcular em etapas:
    • 9{,}81 \times 68{,}48 = 671{,}7888.
    • 15 \times 671{,}7888 = 10\,076{,}832.
  • Portanto:
P_{\text{hid}} = 10\,076{,}832\\ \mathrm{W} \approx 10\,076{,}8\\ \mathrm{W} \approx 10{,}08\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Explicar como usar o rendimento para achar a potência na entrada (potência fornecida ao sistema).
  • O rendimento \eta relaciona a potência hidráulica útil com a potência fornecida ao aparelho (potência de entrada, por exemplo elétrica ou do eixo):
\eta = \frac{P_{\text{hid}}}{P_{\text{in}}}.
  • Isolando P_{\text{in}}:
P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
  • Substituindo P_{\text{hid}} = 10\,076{,}832\\ \mathrm{W} e \eta = 0{,}75:
P_{\text{in}} = \frac{10\,076{,}832}{0{,}75} = 13\,435{,}776\\ \mathrm{W} \approx 13{,}436\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Verificação rápida das unidades e arredondamento final.
  • Unidades: \mathrm{kg/s}\cdot\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{kg\;m^2/s^3} = \mathrm{W}. Está consistente.
  • Arredondamentos práticos:
    • Potência hidráulica (entregue ao fluido): 10{,}08\\ \mathrm{kW}.
    • Potência na entrada (fornecida ao conjunto, considerando rendimento): 13{,}44\\ \mathrm{kW}.
  • Pequeno incentivo: beleza — é só aplicar a fórmula \rho Q g \Delta h e dividir pelo rendimento. Vai dar certo na prova!

Resposta

Potência hidráulica entregue ao fluido: 10\,076{,}832\\ \mathrm{W} \approx 10{,}08\\ \mathrm{kW}
Potência na entrada (considerando \eta=0{,}75): 13\,435{,}776\\ \mathrm{W} \approx 13{,}44\\ \mathrm{kW}

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