Sejam P=a, b, c, m1=a, b, m2=a, c, m3=b, c. Chame P de plano e m1, m2 e m3 de retas. Verifique que nesta “geometria” vale o axioma I2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado pede. A gente tem um “plano”
P = a, b, c
e três “retas”
m1 = a, b, m2 = a, c, m3 = b, c
O conteúdo aqui é geometria de incidência: mais especificamente, o axioma . Para verificar esse axioma, precisamos saber o que ele diz e depois checar se, dado qualquer par de pontos em , existe exatamente uma dessas retas que contém ambos.

Passo 2

O axioma afirma:
“Para quaisquer dois pontos distintos, existe uma e somente uma reta que os contém.”
Ou seja, se a gente pegar dois pontos diferentes , deve haver exatamente uma das que tem .

Passo 3

Vamos verificar o par :
  • contém e .
  • não contém .
  • não contém .
    Logo, exatamente uma reta ( ) passa por e .

Passo 4

Agora o par :
  • contém e .
  • não contém .
  • não contém .
    Então só passa pelos pontos e .

Passo 5

Finalmente o par :
  • contém e .
  • não contém .
  • não contém .
    Portanto, apenas contém os pontos e .

Resposta

Como em cada caso (pares , , ) existe exatamente uma reta que contém os dois pontos, o axioma está satisfeito nessa “geometria”.

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