Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retas do plano?

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta quantos pontos de interseção “que pertencem a pelo menos duas retas” a gente pode ter com 3 retas no plano e com 4 retas no plano. O conteúdo aqui é bem simples: geometria básica de retas (duas retas não paralelas se cruzam num ponto) e uma pitadinha de combinatória para contar pares de retas. A gente vai assumir a posição que gera o máximo de pontos de interseção, ou seja, nenhuma reta é paralela a outra e não há três retas passando pelo mesmo ponto.

Passo 2

Vamos fazer o caso de 3 retas, chamando elas de binom32 ;=;3cdot22=3 .
  1. Teoria: Duas retas concorrentes (não paralelas) se cruzam num único ponto.
  2. Como temos 3 retas, o número de pares de retas é dado por
Isso significa que, no melhor cenário, cada par gera um ponto de interseção diferente. Logo, são 3 pontos.

Passo 3

Agora o caso de 4 retas binom42 ;=;4cdot32=6 .
  1. Mesma teoria: cada par de retas não paralelas dá exatamente 1 ponto.
  2. Contamos quantos pares cabem em 4 elementos:
Então, no cenário sem paralelismo nem origem conjunta de três retas, teremos 6 pontos de interseção distintos.

Resposta

Para 3 retas: 3 pontos.
Para 4 retas: 6 pontos.

Exercícios relacionados