Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta quantos pontos de interseção “que pertencem a pelo menos duas retas” a gente pode ter com 3 retas no plano e com 4 retas no plano. O conteúdo aqui é bem simples: geometria básica de retas (duas retas não paralelas se cruzam num ponto) e uma pitadinha de combinatória para contar pares de retas. A gente vai assumir a posição que gera o máximo de pontos de interseção, ou seja, nenhuma reta é paralela a outra e não há três retas passando pelo mesmo ponto.
Passo 2
Vamos fazer o caso de 3 retas, chamando elas de
.
- Teoria: Duas retas concorrentes (não paralelas) se cruzam num único ponto.
- Como temos 3 retas, o número de pares de retas é dado por
Isso significa que, no melhor cenário, cada par
gera um ponto de interseção diferente. Logo, são 3 pontos.
Passo 3
Agora o caso de 4 retas
.
- Mesma teoria: cada par de retas não paralelas dá exatamente 1 ponto.
- Contamos quantos pares cabem em 4 elementos:
Então, no cenário sem paralelismo nem origem conjunta de três retas, teremos 6 pontos de interseção distintos.
Resposta
Para 3 retas: 3 pontos.
Para 4 retas: 6 pontos.
Para 4 retas: 6 pontos.