Use a função de onda da partícula na caixa (representada abaixo), sabendo que o valor de A^{2}=2 / a, para calcular a probabilidade de que, em uma medida, a partícula seja encontrada dentro de uma medida dentro a / 3, considerada a partir da extremidade direita da caixa (cujo comprimento é a ).
\begin{array}{ll} \Psi(x, t)=A \cos \left(\frac{2 \pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) e^{-i \frac{E}{\hbar} t}, & -\frac{a}{2}<x<+\frac{a}{2} \\\ \Psi(x, t)=0 & , x \leq-\frac{a}{2} \text { ou } x \geq+\frac{a}{2} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá a função de onda de uma partícula numa “caixa” de comprimento a, normalizada por A^2=2/a, e pede a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo de comprimento a/3 contado a partir da extremidade direita. Como a caixa vai de x=-a/2 a x=+a/2, esse intervalo é
x\in\Bigl[\tfrac{a}{2}-\tfrac{a}{3},\,\tfrac{a}{2}\Bigr] =\Bigl[\tfrac{a}{6},\,\tfrac{a}{2}\Bigr].
Para resolver, vamos calcular
P=\int_{a/6}^{a/2}|\Psi(x,t)|^2\,dx
usando |\Psi|^2=A^2\cos^2\!\bigl(2\pi x/a\bigr).

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral da probabilidade, temos
P = A^2 \int_{a/6}^{a/2} \cos^2\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\Bigr)\,dx = \frac{2}{a}\int_{a/6}^{a/2} \cos^2\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Para integrar \cos^2, usamos a identidade
\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Logo, com \theta=2\pi x/a,
\int \cos^2\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\Bigr)\,dx = \frac12\int dx + \frac12\int \cos\!\Bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\Bigr)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\,\frac{a}{4\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\Bigr) = \frac{x}{2} + \frac{a}{8\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\Bigr).

Passo 4

Substituindo esse resultado em P, obtemos
P = \frac{2}{a}\Biggl[\frac{x}{2} + \frac{a}{8\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\Bigr)\Biggr]_{x=a/6}^{x=a/2}.
Distribuindo \tfrac{2}{a}:
P = \Bigl[\tfrac{x}{a} + \tfrac{1}{2\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi x}{a}\bigr)\Bigr]_{a/6}^{a/2}.

Passo 5

Avaliaremos em x=a/2 e x=a/6:
Em x=a/2:
\tfrac{x}{a}=\tfrac12,\quad \sin\!\bigl(4\pi\tfrac{a/2}{a}\bigr)=\sin(2\pi)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \Bigl[\cdots\Bigr]_{a/2}=\tfrac12.
Em x=a/6:
\tfrac{x}{a}=\tfrac16,\quad \sin\!\bigl(4\pi\tfrac{a/6}{a}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; \Bigl[\cdots\Bigr]_{a/6} =\tfrac16 + \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\tfrac16 + \frac{\sqrt{3}}{4\pi}.
Portanto
P = \frac12 - \Bigl(\tfrac16 + \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\Bigr) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}.

Resposta

P = \frac{1}{3} \;-\;\frac{\sqrt{3}}{4\pi}.

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