Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Esboce a região e uma casca típica:
y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=1; em torno de
x=1

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=\sqrt{x}, y=0 e x=1 em torno da reta x=1. Além disso pede um esboço da região e de uma casca típica.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A curva superior é y=\sqrt{x}.
  • A curva inferior é y=0.
  • A reta vertical que limita à direita é x=1.
  • As curvas y=\sqrt{x} e y=0 se interceptam em x=0 (porque \sqrt{x}=0 em x=0).
  • Logo a região é o conjunto \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le \sqrt{x}\}.
  • O eixo de rotação é a reta vertical x=1.
  • Objetivo final: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Esboço da região e de uma casca típica (descrição para visualizar):
  • A curva y=\sqrt{x} é a parte direita da parábola \,x=y^2, começa em (0,0) e sobe para a direita até (1,1).
  • O segmento y=0 é o eixo x- (de x=0 a x=1).
  • A reta x=1 é a fronteira vertical direita.
  • A região é o “pedaço” abaixo de y=\sqrt{x}, para 0\le x\le1.
  • Uma casca típica é obtida tomando uma tirinha vertical em x de espessura \mathrm{d}x. Ao girar essa tirinha em torno de x=1 forma-se uma casca cilíndrica (um cilindro fino). Visualizar essa casca: é um tubo fino com altura igual ao valor de y na tirinha.

Passo 3

Explicação do método das cascas cilíndricas (fórmula e significado das quantidades):
  • Quando giramos uma tirinha vertical em torno de uma reta vertical obtemos uma casca cilíndrica cuja pequena contribuição de volume é dada por
\mathrm{d}V = (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}).ê
  • A circunferência da casca é 2\pi r, onde r é o raio (distância da tirinha até o eixo de rotação).
  • A altura da casca é a extensão vertical da região na tirinha: aqui é h=\sqrt{x}-0=\sqrt{x}.
  • A espessura é \mathrm{d}x (a tirinha é vertical).
  • Para a nossa situação o eixo é x=1. A distância (raio) de um ponto com coordenada x até x=1 é |1-x|. Como 0\le x\le1, tem-se r=1-x (positivo).
  • Portanto a contribuição elemental de volume é
\mathrm{d}V = 2\pi(1-x)\,\sqrt{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Montagem da integral para o volume:
  • As tirinhas variam em x desde x=0 até x=1.
  • Assim o volume total é a integral
V=\int_{0}^{1} 2\pi(1-x)\sqrt{x}\,\mathrm{d}x.
  • Para simplificar a integração escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e expandimos:
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{1/2}-x^{3/2}\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Integração passo a passo (regra de potência):
  • Lembrete da regra de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • Aplicando para x^{1/2} (onde n=\tfrac{1}{2}):
\int x^{1/2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
  • Aplicando para x^{3/2} (onde n=\tfrac{3}{2}):
\int x^{3/2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}.
  • Portanto a integral definida é
V = 2\pi\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliação nos limites e simplificação final:
  • Avaliando em x=1:
\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}.
  • Avaliando em x=0 0.
  • Então
V = 2\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right).
  • Calcule a diferença das frações:
\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=\frac{10-6}{15}=\frac{4}{15}.
  • Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{4}{15}=\frac{8\pi}{15}.

Resposta

\dfrac{8\pi}{15}

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