Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Esboce a região e uma casca típica:
; em torno de
Passo 1
O enunciado pede que se encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
e
em torno da reta
. Além disso pede um esboço da região e de uma casca típica.
Informações dadas e observações imediatas:
- A curva superior é
. - A curva inferior é
. - A reta vertical que limita à direita é
. - As curvas
e se interceptam em (porque em ). - Logo a região é o conjunto
. - O eixo de rotação é a reta vertical
. - Objetivo final: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Esboço da região e de uma casca típica (descrição para visualizar):
- A curva
é a parte direita da parábola , começa em e sobe para a direita até . - O segmento
é o eixo - (de a ). - A reta
é a fronteira vertical direita. - A região é o “pedaço” abaixo de
, para . - Uma casca típica é obtida tomando uma tirinha vertical em
de espessura . Ao girar essa tirinha em torno de forma-se uma casca cilíndrica (um cilindro fino). Visualizar essa casca: é um tubo fino com altura igual ao valor de na tirinha.
Passo 3
Explicação do método das cascas cilíndricas (fórmula e significado das quantidades):
- Quando giramos uma tirinha vertical em torno de uma reta vertical obtemos uma casca cilíndrica cuja pequena contribuição de volume é dada por
- A circunferência da casca é
, onde é o raio (distância da tirinha até o eixo de rotação). - A altura da casca é a extensão vertical da região na tirinha: aqui é
. - A espessura é
(a tirinha é vertical). - Para a nossa situação o eixo é
. A distância (raio) de um ponto com coordenada até é . Como , tem-se (positivo). - Portanto a contribuição elemental de volume é
Passo 4
Montagem da integral para o volume:
- As tirinhas variam em
desde até . - Assim o volume total é a integral
- Para simplificar a integração escrevemos
e expandimos:
Passo 5
Integração passo a passo (regra de potência):
- Lembrete da regra de potência: para
,
- Aplicando para
(onde ):
- Aplicando para
(onde ):
- Portanto a integral definida é
Passo 6
Avaliação nos limites e simplificação final:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
dá . - Então
- Calcule a diferença das frações:
- Multiplicando por
: