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Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

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Exercício 1712345678910111213141516

Enunciado

Passo 1

A diferencial da função linear será dada pela matriz:

d X 0 f = ∂ f 1 ∂ x 1 … ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 … ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋮ … ⋮ ∂ f m ∂ x n

Assim, podemos separar essa função linear f em m funções de n variáveis. Para

X = x 1 , x 2 , … , x n T

Vamos ter:

f 1 X = A 1,1 x 1 + A 1,2 x 2 + … + A 1 , n x n

f 2 X = A 2,1 x 1 + A 2,2 x 2 + … + A 2 , n x n

…

f m X = A m , 1 x 1 + A m , 2 x 2 + … + A m , n x n

Em que A i , j é o elemento da linha i e coluna j de A . Assim fica mais fácil da gente derivar.

Passo 2

Agora, vamos char de f i , x j a derivada da i -éssima função, em relação a x j de X. Para ver o que vai rolar, vamos calcular f 1 , x 1 . Neste caso, todos os demais termos vão desaparecer na derivada:

∂ f 1 X ∂ x 1 = ∂ A 1,1 x 1 + A 1,2 x 2 + … + A 1 , n x n ∂ x 1 = A 1,1

Da mesma forma, para f 2 , x 1 :

∂ f 2 X ∂ x 1 = ∂ A 2,1 x 1 + A 2,2 x 2 + … + A 2 , n x n ∂ x 2 = A 2,1

Generalizando, vamos ter:

f i , x j = A i , j

Portanto, nossa diferencial para qualquer X 0   será: d X 0 f = A 1,1 … A 1 , n A 2,1 … A 2 , n ⋮ A m , 1 ⋮ … ⋮ A m , n = A

Ou seja, temos: d X 0 f X = A X

Resposta

Demonstração na resolução.

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Derivadas dos produtos mistosa. Mostre que, se u, v e w são funções vetoriais deriváveis de t , então d d t ( u → ⋅ v → × w → ) = d d t u → ⋅ v → × w → + u → ⋅ d d t v → × w → + u → ⋅ v → × d d t w →