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Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

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Exercício 3124567891011121314151617

Enunciado

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F u , v = u cos ⁡ 2 v , u sen ⁡ 2 v

Em

X 0 = ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2

Passo 1

Primeiramente, boa noite.

Agora vamos calcular o valor de F em X 0 = ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2 :

F 2 , π 2 = 2 cos ⁡ 2 π 2 , 2 sen ⁡ 2 π 2 = 2 cos ⁡ π , 2 sen ⁡ π = ( - 2,0 )

Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' u , v = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v

F ' ( u , v ) = cos ⁡ 2 v - 2 u sen ⁡ 2 v sen ⁡ 2 v 2 u cos ⁡ 2 v

Em ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2 :

F ' 2 , π 2 = cos ⁡ π - 2 . 2 sen ⁡ π sen ⁡ π 2 . 2 cos ⁡ π = - 1 0 0 - 4

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A u , v = - 2 0 + - 1 0 0 - 4 . u - 2 v - π 2 =   - u - 4 v + 2 π

Resposta

A u , v = - u - 4 v + 2 π

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