Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

Ver Teoria
Exercício 1012345678911121314151617181920212223

Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 09

Assinale abaixo o conjunto que é uma base ORTOGONAL para o núcleo da matriz:

1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 5

(a) 1,0 , - 1,0 ,   ( 1,2 , 1 , - 2 )

(b) 1,1 , 1,1 ,   1,0 , - 1,0 ,   ( 1,2 , 1,0 )

(c) 1,0 , - 1,0 ,   1,1 , 1,1

(d) 1,0 , - 1,0 ,   ( 1,2 , - 1 , - 1 )

Passo 1

Bom, vamos primeiramente ver qual a dimensão do núcleo para ver quantos vetores devem ter na base escalonando a matriz:

1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 5 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - 2 L 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0

A matriz escalonada então é:

1 0 1 1 1 0 2 1

Passo 2

Como sobraram 2 linhas L I e o número de linhas e colunas L I   é o mesmo, vou ter 2 colunas L I ! Ou seja, a dimensão da minha imagem vai ser 2.

Opa, tenho a dimensão da imagem e quero a do núcleo, vou utilizar o TNI:

dim ( ⁡ N u c ( A ) ) + dim ⁡ ( ⁡ I m ( A ) ) = 4

dim ( ⁡ N u c ( A ) ) = 4 - 2 = 2

Assim, devem ter 2 vetores na base, já podemos eliminar a alternativa b)!

Passo 3

Agora basta a gente testar se os vetores das alternativas são ortogonais e zeram a matriz:

1,0 , - 1,0 ,   1,2 , 1 , - 2

Vamos fazer o produto interno para vermos se são ortogonais:

1,0 , - 1,0 ,   1,2 , 1 , - 2 = 1 + 0 - 1 + 0 = 0

São!! Agora vamos ver se eles pertencem ao núcleo:

1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 5 1 0 - 1 0 = 0 0 0

1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 5 1 2 1 - 2 = 0 0 0

Opa!! Exatamente como queríamos, esses vetores pertencem ao núcleo

Resposta

a

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3