Dadas as afirmativas:
I – Dados , e , o conjunto forma uma base ortogonal.
II – A matriz é dita ortogonal.
III – Para transformar a base em ortonormal, basta dividir seus vetores, respectivamente, por , e .
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
f) II e III
g) I, II e III
Passo 1
Analisando cada uma das afirmativas:
I – Verdadeira. Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :
Opa, então eles são ortogonais. Ok, mas e o ??
O é o produto vetorial entre e , então, pela regra da mão direita, ele com certeza vai ser ortogonal aos dois.
Então os 3 vetores são ortogonais entre si :)
II – Falsa. Vimos que uma matriz só é ortogonal se as suas linhas e colunas formarem um conjunto ortonormal, o que não é o caso. Veja que se pegarmos a primeira coluna, temos , cuja norma é , o mesmo acontece para a última coluna e a segunda e terceira linha.
III – Verdadeira. Para normalizar uma base que já é ortogonal, basta dividirmos cada vetor por sua norma. No caso, os vetores dessa base possuem normas de , e , respectivamente.
Então a alternativa correta é a letra E :)
Resposta
e) I e III