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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Sejam u → = ( 2 ,   1 ,   0 ) e v → = ( 2 ,   - 4 ,   0 ) . Considere os vetores v 1 → , versor de u → , v 2 → versor de v → e v 3 → = v 1 → ∧ v 2 → . Mostre que ( v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → ) é uma base ortonormal.

(O versor de um vetor x → é um vetor unitário com mesma direção e sentido que x → ).

Passo 1

Bom, a gente viu que para termos uma base ortonormal, todos os vetores devem ter norma 1 e ser ortogonais entre si. O enunciado nos deu uma sequência de 3 vetores e nós temos que provar que essa sequência forma uma base ortonormal, vamos lá.

Passo 2

Vamos começar provando que a sequência dada é ortogonal ok?

Bom, os vetores v 1 → e v 2 → são versores de u → e v → , logo, possuem mesma direção e sentido que eles. Então, se provarmos que u → e v → são ortogonais, estaremos provando o mesmo para v 1 → e v 2 → certo?

Calculando o produto interno entre u → e v → :

u → . v → = 2 ,   1 ,   0 . ( 2 ,   - 4 ,   0 )

u → . v → = 4 - 4 + 0 = 0

Opa, o produto interno deu 0 , isso quer dizer que u → e v → são ortogonais e consequentemente, v 1 → e v 2 → também são?

Epa, mas e o v 3 → ?

Bom, o vetor v 3 → é o produto vetorial entre v 1 → e v 2 → , e o que sabemos sobre produto vetorial? Isso mesmo, o resultado sempre segue a regra da mão direita, sendo ortogonal aos 2 outros vetores. Logo, os 3 vetores são ortogonais entre si :) Agora vamos provar que a norma deles é 1!!

Passo 3

Cara, o enunciado falou que v 1 → e v 2 → são versores. Versores são sempre vetores com norma 1 certo? Então, já sabemos que v 1 → e v 2 → têm norma 1.

Agora para v 3 → , vamos usar a fórmula do produto vetorial:

v 3 → = v 1 → . v 2 → . s e n 90 °

v 3 → = 1.1 . 1 = 1

Logo, v 3 → também possui norma 1.

E está provado que os 3 vetores são ortogonais entre si e todos possuem norma 1, logo, formam uma base ortonormal :)

Resposta

Demonstração.

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