Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

2 . Considere a função y = x + 1 sen ⁡ x + 6 ( x + cos ⁡ x ) . Então y satisfaz a equação

A : y ' ' - y = 2 sen ⁡ x - 6 x

B : y ' ' - y = 2 cos ⁡ x - 6 x

C : y ' ' + y = 2 sen ⁡ x + 6 x

D : 2 y ' ' + y = cos ⁡ x + 6 x

E : y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 6 x

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para saber qual equação y pertence a gente tem que jogar y em cada equação e ver em qual a igualdade vai ser verdadeira.

Antes de fazermos isso vamos encontrar a segunda derivada de y em relação a x .

Para esse problema temos que lembrar que:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

E vamos usar também a regra do produto, onde temos que:

f g ' = f ' g + f g '

Vamos nessa então!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a primeira derivada de y , temos:

y ' = x + 1 ' sen ⁡ x + x + 1 ( sen ⁡ x ) ' + 6 ( x + cos ⁡ x ) '

⇒ y ' = sen ⁡ x + x + 1 cos ⁡ x + 6 - 6 sen ⁡ x

⇒ y ' = x + 1 cos ⁡ x - 5 sen ⁡ x + 6

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada, temos:

y ' ' = x + 1 ' cos ⁡ x + ( x + 1 ) ( cos ⁡ x ) ' - ( 5 sen ⁡ x ) ' + ( 6 ) '

⇒ y ' ' = cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x - 5 cos ⁡ x

Passo 4

Agora vamos fazer as operações do lado esquerdo de cada equação do enunciado e ver qual que vai bater com o lado direito.

Temos as seguintes operações:

y ' ' - y

y ' ' + y

2 y ' ' + y

Vamos começar com y ' ' - y , temos:

cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x - 5 cos ⁡ x - [ x + 1 sen ⁡ x + 6 ( x + cos ⁡ x ) ]

⇒ y ' ' - y = - 4 cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x - 6 x - 6 cos ⁡ x

⇒ y ' ' - y = - 10 cos ⁡ x - 2 x + 1 sen ⁡ x - 6 x

Agora para y ' ' + y , temos:

cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x - 5 cos ⁡ x + [ x + 1 sen ⁡ x + 6 ( x + cos ⁡ x ) ]

⇒ y ' ' + y = - 4 cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x + x + 1 sen ⁡ x + 6 x + 6 cos ⁡ x

⇒ y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 6 x

E por último 2 y ' ' + y :

2 cos ⁡ x - 2 x + 1 sen ⁡ x - 10 cos ⁡ x + [ x + 1 sen ⁡ x + 6 ( x + cos ⁡ x ) ]

⇒ 2 y ' ' + y = - 8 cos ⁡ x - 2 x + 1 sen ⁡ x + x + 1 sen ⁡ x + 6 x + 6 cos ⁡ x

⇒ 2 y ' ' + y = - 2 cos ⁡ x - x + 1 sen ⁡ x + 6 x

Olhando o que calculamos e comparando com cada item, temos que a única igualdade verdadeira é a da letra E .

Resposta

E : y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 6 x

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