Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

1 1 . Se y = e 9 x cos ⁡ 5 x , então y ' ' 0 4 é igual a

A : 9

B : 4 5

C : 1 4

D : 5

E : 4

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Para encontrar o valor de y ' ' 0 4 , a gente vai ter que derivar y duas vezes e depois substituir x por zero e depois é só dividir por 4 .

Para a gente fazer essa derivada vamos ter que usar a regra do produto dada por:

f g ' = f ' g + f g '

E vamos usar também a regra da cadeia, onde temos:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos derivar y a primeira vez, temos:

y ' = e 9 x ' cos ⁡ 5 x + e 9 x cos ⁡ 5 x '

= 9 e 9 x cos ⁡ 5 x + e 9 x - 5 sen ⁡ 5 x

Então temos que:

y ' = 9 e 9 x cos ⁡ 5 x - 5 e 9 x sen ⁡ 5 x

Passo 3

Agora vamos derivar o que encontramos no passo anterior para a gente encontrar y ' ' , temos:

y ' ' = 9 e 9 x ' cos ⁡ 5 x + 9 e 9 x cos ⁡ 5 x ' - 5 e 9 x ' sen ⁡ 5 x + 5 e 9 x sen ⁡ 5 x '

= 81 e 9 x cos ⁡ 5 x + 9 e 9 x - 5 sen ⁡ 5 x - 45 e 9 x sen ⁡ 5 x + 5 e 9 x ( 5 cos ⁡ 5 x )

= 81 e 9 x cos ⁡ 5 x - 45 e 9 x sen ⁡ 5 x - 45 e 9 x sen ⁡ 5 x - 25 e 9 x cos ⁡ 5 x

Então temos que:

y ' ' = 56 e 9 x cos ⁡ 5 x - 90 e 9 x sen ⁡ 5 x

Passo 4

Agora vamos fazer x = 0 , assim:

y ' ' ( 0 ) = 56 e 9 ( 0 ) cos ⁡ 5 ( 0 ) - 90 e 9 ( 0 ) sen ⁡ 5 ( 0 )

= 56 e 0 cos ⁡ 0 - 90 e 0 sen ⁡ 0

Então temos que:

y ' ' 0 = 56

Dividindo por 4 , temos:

y ' ' 0 4 = 56 4 = 14

Então a nossa alternativa é a letra C .

Resposta

C : 1 4

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