Exercícios Resolvidos de Diagrama de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 1 s + 1

Passo 1

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função n y q u i s t do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de G ( s ) e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com G ( s ) no MATLAB. Para isto, usaremos a função t f , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 1 . Já o polinômio do denominador é s + 1 .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 1 ∙ s 0 = 1 ∙ 1 = 1 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 1 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s + 1 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando G = t f ( n u m ,   d e n ) para criar G ( s ) , que será armazenado na variável G .

Se quiser conferir se você entrou G ( s ) certinho, rode o programa que você tem até agora e peça para o MATLAB imprimir G no Command Window. Se estiver tudo certo, você terá:

Passo 3

Tendo entrado com G ( s ) no MATLAB, podemos plotar o diagrama de Nyquist, usando a função n y q u i s t , que tem como sintaxe:

n y q u i s t ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando t f do MATLAB (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de G :

Passo 4

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Z = N + P

Onde:

  • Z é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
  • N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ( - 1,0 ) ;
  • P é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, Z deve ser igual a 0 .

O P é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, G ( s ) . Neste exercício, o denominador de G ( s ) é s + 1 , que tem como raiz - 1 . Logo, o único polo de G ( s ) é - 1 e ele é negativo. Portanto, G ( s ) não tem polos positivos e P = 0 .

N é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Tem uma cruzinha vermelha na extremidade esquerda do gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas ( - 1,0 ) . Como a cruzinha está fora do diagrama de Nyquist (que é o círculo azul com flechinhas), o diagrama não dá volta alguma em torno de ( - 1,0 ) , logo, N = 0 .

Tendo P e N , calculamos Z . Temos que Z = N + P = 0 + 0 = 0 . Como Z = 0 , o sistema é estável.

Resposta

Sistema estável