Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:
Passo 1
Neste exercício, vamos avaliar a estabilidade de um sistema usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e aplicaremos o critério de Nyquist no diagrama para ver se o sistema é estável ou não.
Antes de usar , usaremos a função para entrar com no MATLAB. Como o denominador de está fatorizado, precisamos expandi-lo para sabermos como será a entrada de . Por isso, antes de usarmos , vamos multiplicar os termos do denominador de .
Passo 2
Vamos multipicar os termos do denominador de usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:
Na primeira linha, definimos uma variável simbólica .
Na segunda linha, entramos com o denominador de , que é armazenado em .
Na terceira linha, usamos o comando em para multiplicar os termos de e gerar um polinômio, armazenado em .
Rodando o programa, temos:
Passo 3
Após expandir o denominador de , vamos criar as entradas de , que tem a sintaxe:
A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .
Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .
Em um novo script ou no mesmo script onde foi calculado, vamos criar as entradas de . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .
A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:
Logo abaixo das linhas onde as variáveis e foram criadas, já colocamos o comando para criar , que será armazenado em .
Antes de continuar, vamos conferir , pra ver se não digitamos alguma coisa errada. Vamos executar o programa que temos até agora e imprimir no Command Window:
Até aqui, tudo certo, podemos continuar ;D
Passo 4
O próximo passo é plotar o diagrama de Nyquist de . Para isto, use a função , que tem como sintaxe:
Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .
Adicione em seu código o comando:
Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :
Esse diagrama tá meio esquisitinho, né? Mas não se preocupe, a aplicação do critério de Nyquist nele será exatamente igual como fizemos nos outro diagramas com formatos mais “tradicionais”.
Passo 5
Vamos avaliar a estabilidade do sistema aplicando o critério de Nyquist no diagrama que plotamos no passo anterior. O critério de Nyquist é dado pela equação:
Onde:
- é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
- é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
- é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.
Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .
O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:
Neste exercício, o denominador de é , que tem como raízes , e . Logo, não tem polos positivos e .
é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:
Note que tem uma cruzinha vermelha no meio gráfico, marcando o ponto de coordenadadas . Vamos dar um zoom na região ontem tem a cruzinha, para ver se o diagrama de Nyquist (que é a curva azul com setinhas) não dá alguma volta em torno dela:
Veja que a parte do diagrama de Nyquist (que é a curva azul com setinhas) que parecia uma reta horizontal na verdade é uma voltinha! E essa voltinha não contorna a cruzinha a vermelha, por isso, o diagrama não dá volta alguma em torno de e .
Tendo e , calculamos . Temos que . Como é igual a , o sistema é estável.
Resposta
Sistema estável.