Exercícios Resolvidos de Diagrama de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 100 s ( s + 3 ) ( s + 6 )

Passo 1

Neste exercício, vamos avaliar a estabilidade de um sistema usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função n y q u i s t do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de G ( s ) e aplicaremos o critério de Nyquist no diagrama para ver se o sistema é estável ou não.

Antes de usar n y q u i s t , usaremos a função t f para entrar com G ( s ) no MATLAB. Como o denominador de G ( s ) está fatorizado, precisamos expandi-lo para sabermos como será a entrada de t f . Por isso, antes de usarmos t f , vamos multiplicar os termos do denominador de G ( s ) .

Passo 2

Vamos multipicar os termos do denominador de G ( s ) usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, definimos uma variável simbólica s .

Na segunda linha, entramos com o denominador de G ( s ) , que é armazenado em d e n _ o r i g i n a l .

Na terceira linha, usamos o comando e x p a n d em d e n _ o r i g i n a l para multiplicar os termos de d e n _ o r i g i n a l e gerar um polinômio, armazenado em d e n _ p o l .

Rodando o programa, temos:

Passo 3

Após expandir o denominador de G ( s ) , vamos criar as entradas de t f , que tem a sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 10 0 . Já o polinômio do denominador é s 3 + 9 s 2 + 18 s .

Em um novo script ou no mesmo script onde d e n _ p o l foi calculado, vamos criar as entradas de t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 10 0 ∙ s 0 = 10 0 ∙ 1 = 10 0 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 10 0 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s 3 + 9 s 2 + 18 s , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo das linhas onde as variáveis n u m e d e n foram criadas, já colocamos o comando G = t f ( n u m ,   d e n ) para criar G ( s ) , que será armazenado em G .

Antes de continuar, vamos conferir G , pra ver se não digitamos alguma coisa errada. Vamos executar o programa que temos até agora e imprimir G no Command Window:

Até aqui, tudo certo, podemos continuar ;D

Passo 4

O próximo passo é plotar o diagrama de Nyquist de G ( s ) . Para isto, use a função n y q u i s t , que tem como sintaxe:

n y q u i s t ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando t f do MATLAB (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de G :

Esse diagrama tá meio esquisitinho, né? Mas não se preocupe, a aplicação do critério de Nyquist nele será exatamente igual como fizemos nos outro diagramas com formatos mais “tradicionais”.

Passo 5

Vamos avaliar a estabilidade do sistema aplicando o critério de Nyquist no diagrama que plotamos no passo anterior. O critério de Nyquist é dado pela equação:

Z = N + P

Onde:

  • Z é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
  • N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ( - 1,0 ) . N é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, N é negativo.
  • P é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, Z deve ser igual a 0 .

O P é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, G ( s ) . Para isto, é mais fácil a gente pegar o G ( s ) dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

G s = 100 s ( s + 3 ) ( s + 6 )

Neste exercício, o denominador de G ( s ) é s ( s + 3 ) ( s + 6 ) , que tem como raízes 0 , - 3 e - 6 . Logo, G ( s ) não tem polos positivos e P = 0 .

N é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Note que tem uma cruzinha vermelha no meio gráfico, marcando o ponto de coordenadadas ( - 1,0 ) . Vamos dar um zoom na região ontem tem a cruzinha, para ver se o diagrama de Nyquist (que é a curva azul com setinhas) não dá alguma volta em torno dela:

Veja que a parte do diagrama de Nyquist (que é a curva azul com setinhas) que parecia uma reta horizontal na verdade é uma voltinha! E essa voltinha não contorna a cruzinha a vermelha, por isso, o diagrama não dá volta alguma em torno de ( - 1,0 ) e N   =   0 .

Tendo P e N , calculamos Z . Temos que Z = N + P = 0 + 0 = 0 . Como Z é igual a 0 , o sistema é estável.

Resposta

Sistema estável.