1. Considere a função f : R → R dada por

x 2 sin ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 0                                   s e   x = 0

  1. Mostre que se f é diferenciável em x = 0 e calcule f ' 0
  2. Usando o fato que f é diferenciavel em todos os pontos de R , calcule f ' x para cada x   ∈ R e mostre que a função f ' : R → R não é continua em x = 0 .

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para mostrar que ela é diferenciavel em x = 0 , vamos aplicar a definição
  2. lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

    Onde x 0 = 0 . Logo:

    f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x x

    Subsituindo f x ,

    f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x

    Então agora temos esse limite para resolver!

    Passo 2

    Para resolver esse limite vamos usar o Teorema do Confronto! Lembra que a função seno é limitada?

    - 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ + 1

    Mas o nosso limite tem um x multiplicando o nosso seno, então vamos multiplicar ali também

    - x ≤ x sin ⁡ 1 x ≤ + x

    Agora vamos calcular os limites das pontas, se eles forem iguais, significa que meu limite do meio também é

    lim x → 0 ⁡ - x = 0

    lim x → 0 ⁡ + x = 0

    Logo,

    lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

    Ou seja, f ' 0 = 0 .

    Passo 3

  3. Para mostrar que f é diferenciavel vamos aplicar a regra do produto para qualquer x ≠ 0 .

Fica assim,

f x = x 2 sin ⁡ 1 x

Derivando,

f ' x = x 2 ' sin ⁡ 1 x + x 2 sin ⁡ 1 x '

Para derivar a parte seno, vamos aplicar a regra da cadeia,

sin ⁡ 1 x ' = cos ⁡ 1 x - 1 x 2 = - cos ⁡ 1 x x 2

Juntando tudo,

f ' x = 2 x sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

Deste modo,

lim x → 0 ⁡ f ' x = lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

Porém, como cos ⁡ 1 x não existe. Temos que f ' não é continua em x = 0 .

Resposta

No texto

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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .