Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

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Enunciado

Use o TVM para mostrar que se e < a < e 2 , então a ln ⁡ a - e < 4 e 3 ( a - e ) .

Passo 1

-

Olha a relação inicial:

a ln ⁡ a - e < 4 e 3 ( a - e )

Vou fazer duas pequenas modificação:

a ln ⁡ a - e ln ⁡ e < 4 e 3 ( a - e )

a ln ⁡ a - e ln ⁡ e a - e < 4 e 3

Repara que é como se pegássemos uma f x = x ln ⁡ x e usássemos o TVM. Imagina que tem um ponto x = c com c   ∈   ] e , a [ onde vale essa igualdade:

a ln ⁡ a - e ln ⁡ e a - e = f ' c

Ou seja, comparando essa com a equação modificada que escrevi, se provarmos que f ' ( c ) é sempre menor que 4 e 3 garantimos que a inequação é válida. Vamos começar calculando essa derivada:

f x = x ln ⁡ x = e ln ⁡ x ln ⁡ x = e ln ⁡ x ln ⁡ x

= e ln ⁡ x 2

f ' x = ln ⁡ x 2 ' e ln ⁡ x 2

= 2 ln ⁡ x x e ln ⁡ x 2

= 2 ln ⁡ x x x ln ⁡ x

Ok, nós queríamos um valor de f ' ( c ) que fosse máximo dentro das circunstâncias dadas, com e < c < a < e 2 . Ora, podemos olhar para f ' ' ( x ) e descobrir qual é o máximo valor dentro do intervalo e substituí-lo na análise.

f ' ' x = 2 ln ⁡ x x ' x ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x x x ln ⁡ x '

= 2 - 2 ln ⁡ x x 2 x ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x x 2 ln ⁡ x x x ln ⁡ x

= x ln ⁡ x x 2 [ 4 ln 2 ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 2 ]

O pedaço inicial com x na base vai ser sempre positivo dentro do domínio, pois terá sempre valor positivo na base. Para achar os pontos onde f ' ' x vale 0 temos que nos concentrar no outro pedaço. Para facilitar a análise, vou fazer com u = ln ⁡ x :

[ 4 u 2 - 2 u + 2 ]

Se você usar Bhaskara para esse termo vai reparar que não existem raízer. Por ser uma parábola de boca para cima, notamos que f ' ' x é estritamente positiva, ou seja, f ' ( x ) está sempre crescendo à medida que x cresce. Com isso, podemos assumir que o maior valor para f x seria f ( e 2 ) . Ora, c nunca valeria e 2 , por ser c < a < e 2 , mas podemos nos guiar por esse valor:

f ' e 2 = 2 ln ⁡ e 2 e 2 ( e 2 ) ln ⁡ e 2 = 2 ( 2 ) e 2 ( e 2 ) 2 = 4 e 2

Bom, sabemos, portanto que f ' c < 4 e 2 nesse intervalo. Como 4 e 2 < 4 e 3 , então temos:

f ' c < 4 e 3

O que nos garante a relação inicial e fim da questão!

a ln ⁡ a - e ln ⁡ e a - e < 4 e 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)