Teorema do Valor Médio
Use o TVM para mostrar que se então .
Passo 1
Olha a relação inicial:
Vou fazer duas pequenas modificação:
Repara que é como se pegássemos uma e usássemos o TVM. Imagina que tem um ponto com onde vale essa igualdade:
Ou seja, comparando essa com a equação modificada que escrevi, se provarmos que é sempre menor que garantimos que a inequação é válida. Vamos começar calculando essa derivada:
Ok, nós queríamos um valor de que fosse máximo dentro das circunstâncias dadas, com . Ora, podemos olhar para e descobrir qual é o máximo valor dentro do intervalo e substituí-lo na análise.
O pedaço inicial com na base vai ser sempre positivo dentro do domínio, pois terá sempre valor positivo na base. Para achar os pontos onde vale temos que nos concentrar no outro pedaço. Para facilitar a análise, vou fazer com :
Se você usar Bhaskara para esse termo vai reparar que não existem raízer. Por ser uma parábola de boca para cima, notamos que é estritamente positiva, ou seja, está sempre crescendo à medida que cresce. Com isso, podemos assumir que o maior valor para seria . Ora, nunca valeria , por ser , mas podemos nos guiar por esse valor:
Bom, sabemos, portanto que nesse intervalo. Como , então temos:
O que nos garante a relação inicial e fim da questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)