Determine as matrizes das :
reflexão em torno da reta
, reflexão em torno da reta
, reflexão em torno do plano
Passo 1
É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:
Logo os vetores da reta são da forma . Portanto, um vetor gerador possível é o
A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor é dada por:
Para acharmos a matriz rotação basta fazermos:
Passo 2
Agora precisamos da matriz que representa a projeção sobre a reta . Novamente, vamos achar o vetor que gera ela:
A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor é dada por:
Para acharmos a matriz rotação basta fazermos:
Passo 3
Queremos a reflexão em torno de um plano no . O que vamos fazer é o seguinte: Primeiro encontramos a matriz projeção no complemento ortogonal do plano. Com essa matriz em mãos encontramos a que faz a projeção no plano. Por fim, encontramos a matriz que reflete pelo plano.
Se não entendeu direito fica calmo que vai ficar claro no caminho haha. Primeiro, vamos encontrar o complemento ortogonal do plano.
Sabemos que ele é uma reta gerada por um vetor ortogonal ao plano. Este pode ser obtido pelos coeficientes da equação do plano:
A matriz que projeta sobre esta reta é dada por:
Passo 4
O próximo passo é encontrar que projeta o vetor sobre o plano. Ela é dada por:
Passo 5
Finalmente, podemos encontrar :