No interior de uma solução de sais em líquido, a densidade da solução varia com respeito à altitude. Numa solução deste tipo e em equilíbrio com o campo gravitacional na superfície da terra, a pressão varia com a profundidade h da seguinte forma: P   =   P 0   + ρ 0 g h + κ h 2 . Qual

a expressão para a densidade ρ como função da profundidade?

(a) ρ 0   +   κ h / g .

(b) ρ 0   -   κ h .

(c) ρ 0   +   2 κ h / g .

(d) ρ 0   -   2 κ h .

(e) ρ 0   e x p [ - κ h / g ] .

(f) ρ 0   e x p [ - κ h / ( 2 g ) ] .

(g) ρ 0   e x p [ - κ h ] .

Passo 1

Precisamos achar uma relação entre a densidade e a pressão. Como os valores não são constantes, precisamos lidar com as versões diferenciais das equações.

Lembra que a densidade é

ρ = d m d V

Onde o volume é área da base vezes a altura ( V = A h ), considerando a área da base constante,

d V = A   d h

ρ = 1 A d m d h

Mas não temos informações sobre como a massa varia ao longo da altura. Pra tentar tirar esse d m da equação, vamos olhar para a pressão:

P = F A = m g A

Para achar a forma diferencial, como A e g são constantes, podemos dizer que

d P = g A d m

d m = A g d P

Substituindo o d m na equação da densidade:

ρ = A / g A d P d h

ρ = 1 g d P d h

Temos uma relação diferencial entre a densidade e a pressão!

Passo 2

Basta fazermos essa derivada:

ρ = 1 g d d h [ P 0   + ρ 0 g h + κ h 2 ]

ρ = 1 g [ ρ 0 g + 2 κ h ]

ρ = ρ 0 + 2 κ h g

Resposta

(c) ρ 0   +   2 κ h / g .

Exercícios Resolvidos de Pressão

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