Existe função f tal que f 0 = - 1 ,   f 2 = 4 e f ' x ≤ 2 para todo x ∈ R

Passo 1

Fala pessoal, tudo certo? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! O problema perguntou se existe uma função f que satisfaça esses pontos aqui

f 0 = - 1

f 2 = 4

Até aqui podemos ter muuuitas funções. Mas o pulo do gato está depois: e que a derivada da f seja uma constante menor ou igual a 2

f ' x ≤ 2

Bom, uma derivada é constante quando a função é linear! Então já sabemos mais ou menos a cara da nossa função

f x = a x + b

Beleza?

A ideia aqui é juntar as informações de derivada com a nossa função linear! Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função é linear, então sabemos que estamos falando de UMA RETA! E por dois pontos (que são as informações que temos) temos apenas uma reta! Vamos ver os pontos

f 0 = - 1

f 2 = 4

Temos a f ( 0 ) , ou seja, temos o termo independente! Temos o valor do coeficiente b !

f x = a x + b → f 0 = b = - 1

já com o outro ponto podemos encontrar o coeficiente angular!

f 2 = a . 2 - 1 = 4

2 a = 4 + 1

a = 5 2

E está aqui nossa reta

f x = 5 2 x - 1

E agora? Agora é #partiu derivar!

Passo 3

A única função que passa pelos pontos que foram dados e que tem como derivada uma constante é essa função aí! Agora vamos ver a derivada dela

f x = 5 2 x - 1 → f ' x = 5 2

Opa opa opa! Espera um segundo!

lembra que temos uma condição na derivada?

f ' x ≤ 2

Mas nossa derivada deu 2,5 > 2 ! Então essa função aí não satisfaz todas as exigências, e portanto, essa função que o problema pede simplesmente não existe!

É isso! Nossa resposta é: não existe!

Espero ter ajudado! Até mais!

Resposta

n ã o   e x i s t e

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c em ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .
Demonstre a identidade arcsen ⁡ x - 1 x + 1 = 2 arctg ⁡ x - π 2
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e nx= 0 tem exatamente uma raiz real.
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,