Uso o Teorema do Valor Intermediário junto com o Teorema de Rolle para provar que o polinômio P x = x 3 + x - 3 , possui um único zero real (raiz da equação x 3 + x - 3 = 0 ) .

Passo 1

Olá meu caro colega, me chamo Yuri e hoje irei lhe guiar pelos caminhos tortuosos, mas satisfatórios do cálculo. Dramas a parte, o que queremos hoje é provar por meio de 2 teoremas que a querida equação x 3 + x - 3 = 0 possui apenas 1 zero real, e que seus outros 2 zeros são imaginários. Primeiro de tudo iremos mostrar que temos uma raiz real, e para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, primeiro precisamos mostrar que existe pelo menos uma raiz real para a equação

P x = 0

Note que P 0 = - 3 , e P 2 = 11 . Como P x é um polinômio continuo, pelo Teorema do valor intermediário, deve existir algum valor c entre 0 e 2 para qual P c = 0 . Isso implica que o polinômio tem pelo menos uma raiz no intervalo 0 < c < 2 .

Passo 2

Agora iremos aplicar o Teorema de Rolle para mostrar que só pode haver uma raiz nesse intervalo. Para isso, suponha que existam duas raízes distintas a e b de P x = 0 no intervalo 0 < a < b < 2 . Pelo Teorema de Rolle, se P ( x ) tiver duas raízes distintas a e b, então P ' ( x ) deve ter pelo menos uma raiz no intervalo a < x < b .

P ' x = 3 x 2 + 1

Notamos então que não existe raiz real para a equação acima, contradizendo o Teorema. Portanto, nossa suposição de que existem duas raízes distintas a e b é falsa. Isso significa que só pode haver uma raiz no intervalo 0 < x < 2 , o que conclui a prova de que o polinômio P ( x ) possui uma única raiz real.

Resposta

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