Exercícios Resolvidos de Teorema de Transporte de Reynolds e Princípio da Continuidade
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Água, admitida incompressível, escoa em regime permanente pelo tubo da figura. A velocidade na entrada é constante, , e a velocidade na saída se aproxima do perfil para escoamento turbulento, . Determine a razão para esse escoamento.
Passo 1
A primeira coisa que o enunciado nos diz é que o escoamento é incompressível e permanente.
Isso simplifica as coisas! Como o escoamento é permanente, .
Então, vimos na teoria que o princípio da continuidade (conservação da massa) para o caso permanente é:
E, como o fluido é incompressível, não varia e posso tirar ele da integral. Vou cortar porque ele está nos dois lados:
O escoamento é todo na horizontal e faz 90° ( com as superfícies de controle. Então, e
são os perfis de velocidade. Vamos ver isso no passo 2!
Passo 2
O enunciado nos informou que a velocidade na entrada é constante e igual a , logo, podemos escrever assim:
A área de entrada é a área A do tubo:
Por outro lado, na saída, o enunciado nos diz que a velocidade não é constante, mas segue esse perfil:
Substituindo:
é a velocidade máxima, um valor constante e que sai da integral:
Vamos ter que resolver essa integral aí? Relaxa, vamos conseguir e estamos aqui para isso! Vamos resolvê-la passo a passo!
Passo 3
Resolvendo a Integral
Primeiro, quem é esse ? Repara que quem está dentro dessa integral depende de r. Além disso, a área de saída é a área de um círculo, então podemos escrever assim:
E a integral fica assim:
Outra coisa importante: aquele 1/7 está elevando todo. Então, não vai dar para separar 1 e r/R tão fácil. Vamos usar a integral por substituição:
A partir daí achamos :
Reorganizando :
Antes de substituir, precisamos atualizar nossos limites
Substituindo, nossa integral vai ficar:
Vamos arrumar isso aí colocando as constantes para fora:
Consertando os limites:
Fazendo a distributiva:
Separando as integrais:
Agora é nosso momento! Vamos integrar!
Fazendo as contas:
E essa integral que a gente está calculando era quem mesmo?
Opa! Encontramos uma expressão para essa integral, que faz parte do princípio da continuidade. Aliás, falando nele, vamos lembrar?
Passo 4
Princípio da continuidade para escoamento incompressível e permanente (vimos no passo 1)
E nos passo 2 e 3, calculamos essas 2 integrais. Substituindo:
Cancelando
Estamos quase lá!!
UHUL! Encontraaaamos a razão para esse escoamento.