3.12 Uma chave BJT controla a potência DC para um carga resistiva de 5 \Omega. Se a fonte de tensão DC V_{\mathrm{S}}=120 \mathrm{~V}, V_{\mathrm{CE}(\mathrm{sat})}=1,2 \mathrm{~V} e o tempo de ligação for de 1 \mu \mathrm{~s}, determine:
a) as perdas do BJT no estado ligado
b) a perda de energia no BJT durante o tempo de ligação da chave

Passo 1

O enunciado dá uma chave BJT que alimenta uma carga resistiva R=5\\ \Omega a partir de uma fonte V_{S}=120\\ \mathrm{V}. A tensão de saturação do transistor é V_{CE(\mathrm{sat})}=1{,}2\\ \mathrm{V}. O tempo de ligação (tempo de comutação ligado) é t_{\mathrm{on}}=1\\ \mu\mathrm{s}.
O que se pede:
a) as perdas (potência dissipada) no BJT no estado ligado (regime estacionário, transistor saturado);
b) a energia dissipada no BJT durante o tempo de ligação t_{\mathrm{on}}.

Passo 2

Primeiro calculamos a corrente que circula pela carga quando o BJT está saturado. Em saturação a queda no BJT é V_{CE(\mathrm{sat})}, então a tensão no resistor é V_S - V_{CE(\mathrm{sat})}. Pela lei de Ohm:
I = \frac{V_{S}-V_{CE(\mathrm{sat})}}{R}.
Substituindo os números:
I = \frac{120 - 1{,}2}{5} = \frac{118{,}8}{5} = 23{,}76\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Agora calculamos a potência dissipada no BJT no estado ligado (perda por condução). Essa potência é a tensão no BJT multiplicada pela corrente que o atravessa:
P_{\mathrm{on}} = V_{CE(\mathrm{sat})}\cdot I.
Substituindo os valores:
P_{\mathrm{on}} = 1{,}2\cdot 23{,}76 = 28{,}512\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: enquanto o transistor fica ligado continuamente ele dissipa cerca de 28{,}5\\ \mathrm{W} por efeito da queda V_{CE(\mathrm{sat})}.

Passo 4

Para a energia dissipada durante o tempo de ligação consideramos o comportamento do transistor durante a comutação. Durante o tempo de subida (turn-on) a corrente sobe de 0 até I e a tensão cai de aproximadamente V_{S} até V_{CE(\mathrm{sat})}. Uma hipótese padrão razoável para estimativas é assumir variações lineares simultâneas de tensão e corrente durante t_{\mathrm{on}}. Então a potência instantânea é p(t)=v(t)\,i(t) e a energia é a integral dessa potência sobre o intervalo 0\le t\le t_{\mathrm{on}}.

Passo 5

Modelando variações lineares:
v(t)=V_S - (V_S-V_{CE(\mathrm{sat})})\frac{t}{t_{\mathrm{on}}},\qquad i(t)=I\frac{t}{t_{\mathrm{on}}}.
A energia durante a transição é
E_{\mathrm{on}}=\int_{0}^{t_{\mathrm{on}}} v(t)\,i(t)\,dt.
Fazendo a substituição e mudando para variável adimensional \tau=\dfrac{t}{t_{\mathrm{on}}} (com dt=t_{\mathrm{on}}d\tau) obtemos:
E_{\mathrm{on}}=I\,t_{\mathrm{on}}\int_{0}^{1}\tau\Bigl[V_S-(V_S-V_{CE(\mathrm{sat})})\tau\Bigr]\,d\tau.
Calculando as integrais \int_0^1 \tau\,d\tau=\tfrac{1}{2} e \int_0^1 \tau^2\,d\tau=\tfrac{1}{3} resulta:
E_{\mathrm{on}}=I\,t_{\mathrm{on}}\left(\frac{V_S}{2}-\frac{V_S-V_{CE(\mathrm{sat})}}{3}\right).
Simplificando:
E_{\mathrm{on}}=I\,t_{\mathrm{on}}\left(\frac{V_S}{6}+\frac{V_{CE(\mathrm{sat})}}{3}\right).
Observação: se V_{CE(\mathrm{sat})} for muito pequeno comparado a V_S pode-se aproximar E_{\mathrm{on}}\approx \dfrac{1}{6}V_S I t_{\mathrm{on}}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos: I=23{,}76\\ \mathrm{A}, t_{\mathrm{on}}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}, V_S=120\\ \mathrm{V}, V_{CE(\mathrm{sat})}=1{,}2\\ \mathrm{V}.
Primeiro calculemos o fator de tensão:
\frac{V_S}{6}+\frac{V_{CE(\mathrm{sat})}}{3}=\frac{120}{6}+\frac{1{,}2}{3}=20+0{,}4=20{,}4\\ \mathrm{V}.
Então
E_{\mathrm{on}}=23{,}76\cdot(1{,}0\times10^{-6})\cdot 20{,}4 = 484{,}704\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Portanto
E_{\mathrm{on}}=4{,}84704\times10^{-4}\\ \mathrm{J}\approx 4{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{J},
ou seja cerca de 0{,}485\\ \mathrm{mJ}.

Resposta

a) P_{\mathrm{on}}=28{,}512\\ \mathrm{W}
b) E_{\mathrm{on}}=4{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{J}

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