Dada a função de rede abaixo, calcule a resposta completa
para
se:
e
Passo 1
O enunciado nos fornece explicitamente:
- A tensão de entrada:
para . - Condições iniciais na saída:
e . - Pede-se calcular a resposta completa
para .
Informação importante que falta no enunciado:
- A “função de rede” mencionada (isto é, o circuito, a sua equação diferencial, ou a sua função de transferência
ou resposta ao impulso ) não foi fornecida. Sem essa informação a relação entre e não está definida.
Passo 2
Como procederíamos em geral (visão geral do método — ainda não usando dados que faltam):
- Para um sistema linear e invariável no tempo (LTI), a resposta total
é soma da resposta natural (devida a condições iniciais) e da resposta forçada (devida à entrada). - Em termos práticos, a maneira mais direta e organizada é usar a transformada de Laplace. No domínio de Laplace a relação é
onde
é a função de transferência do circuito (assumida conhecida se o circuito for dado) e
,
são as transformadas de Laplace de
e
.
- Se as condições iniciais forem nulas (sistema “em repouso” no
), os termos de condição inicial desaparecem e fica simplesmente
- No domínio do tempo a resposta forçada (zero-state) pode ser escrita pela convolução
onde
é a resposta ao impulso do sistema.
Passo 3
Calculemos a transformada de Laplace da entrada (é informação que podemos obter já com os dados fornecidos; é útil para qualquer método que use Laplace):
- Regra útil: para
vale
- Na nossa entrada
tem e . Logo
Passo 4
Interpretação das condições iniciais fornecidas:
- Foi dado
e . Para um sistema de segunda ordem essas duas condições costumam ser exatamente as condições iniciais necessárias para anular a resposta natural; para ordens maiores seriam necessárias mais condições. Em todo caso, tudo o que podemos afirmar sem conhecer o circuito é que, se o circuito for um sistema linear inicialmente em repouso (isto é, sem energia armazenada), então os termos de condição inicial em são zero e
- Se o circuito não estiver em repouso ou tiver ordem diferente, seriam necessários os estados iniciais correspondentes para escrever os termos adicionais.
Passo 5
Expressões gerais no domínio do tempo e do domínio de Laplace (o “plano de ação” quando o circuito for conhecido):
- Domínio de Laplace: uma vez conhecida
calcula-se
- Domínio do tempo: inverter a transformada de Laplace para obter
. Alternativamente, se for conhecida usar a convolução
ou reescrever trocando variáveis:
Passo 6
Como proceder explicitamente quando o circuito (ou
) for dado:
-
- Calcular
(feito no Passo 3).
- Calcular
-
- Multiplicar por
para obter .
- Multiplicar por
-
- Efetuar frações parciais em
e inverter cada termo pela tabela de Laplace para obter .
- Efetuar frações parciais em
- Se as condições iniciais forem nulas, não há termos extra; se não forem nulas, adicionar os termos devidos (que aparecem na transformação pela presença de condições iniciais nos elementos armazenadores).
- Técnica alternativa: resolver a equação diferencial do circuito no tempo (montar a EDO a partir das leis de Kirchhoff), inserir
e as condições iniciais, e resolver por métodos clássicos (método dos coeficientes indeterminados, variação de parâmetros, ou Laplace). Esses métodos são equivalentes ao uso de .
Passo 7
Exemplos ilustrativos (apenas para ensinar, NÃO são a solução do enunciado porque
não foi dada):
- Se, por exemplo, o circuito tivesse função de transferência unidade
então
e, invertendo Laplace,
ou seja, saída igual à entrada (sistema passa‑tudo).
- Outro exemplo: se
(um filtro de primeira ordem com pólo em ), então
Invertendo essa transformada pela tabela resulta em
Isto ilustra como diferentes
produzem respostas totalmente diferentes mesmo com a mesma entrada.
Passo 8
Conclusão lógica para o enunciado dado:
- Já calculamos
. - Porém, para obter
numérico e explícito é necessário conhecer a função de transferência do circuito (ou a equação diferencial completa do circuito, ou a resposta ao impulso ). Sem essa informação a resposta não é única: diferentes circuitos (diferentes ) levam a diferentes . - As condições iniciais fornecidas (saída e derivada zero) implicam que, se o sistema for de ordem 2 e estiver em repouso, não haverá termos de condição inicial; ainda assim a resposta depende de
.
Resposta
Não é possível determinar
de forma única porque a função de rede (o circuito, isto é, a função de transferência
ou a resposta ao impulso
) não foi fornecida.