Dada a função de rede abaixo, calcule a resposta completa v_{0}(t) para \mathrm{t}>0 se:
v_{i}(t)=6 \cdot e^{-t} \cdot \cos (2 t) e v_{o}(0)=\frac{d v_{o}(0)}{d t}=0

Passo 1

O enunciado nos fornece explicitamente:
  • A tensão de entrada: v_{i}(t)=6\cdot e^{-t}\cdot\cos(2t) para t>0.
  • Condições iniciais na saída: v_{o}(0)=0 e \dfrac{d v_{o}(0)}{dt}=0.
  • Pede-se calcular a resposta completa v_{0}(t) para t>0.
Informação importante que falta no enunciado:
  • A “função de rede” mencionada (isto é, o circuito, a sua equação diferencial, ou a sua função de transferência H(s) ou resposta ao impulso h(t)) não foi fornecida. Sem essa informação a relação entre v_i e v_o não está definida.

Passo 2

Como procederíamos em geral (visão geral do método — ainda não usando dados que faltam):
  • Para um sistema linear e invariável no tempo (LTI), a resposta total v_0(t) é soma da resposta natural (devida a condições iniciais) e da resposta forçada (devida à entrada).
  • Em termos práticos, a maneira mais direta e organizada é usar a transformada de Laplace. No domínio de Laplace a relação é
V_0(s)=H(s)\,V_i(s)+\text{(termos associados às condições iniciais)},àçõ
onde H(s) é a função de transferência do circuito (assumida conhecida se o circuito for dado) e V_i(s), V_0(s) são as transformadas de Laplace de v_i(t) e v_0(t).
  • Se as condições iniciais forem nulas (sistema “em repouso” no t=0^-), os termos de condição inicial desaparecem e fica simplesmente
V_0(s)=H(s)\,V_i(s).
  • No domínio do tempo a resposta forçada (zero-state) pode ser escrita pela convolução
v_0(t)=\,(h * v_i)(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,v_i(t-\tau)\,d\tau,
onde h(t) é a resposta ao impulso do sistema.

Passo 3

Calculemos a transformada de Laplace da entrada (é informação que podemos obter já com os dados fornecidos; é útil para qualquer método que use Laplace):
  • Regra útil: para e^{a t}\cos(bt) vale
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • Na nossa entrada v_i(t)=6\,e^{-t}\cos(2t) tem a=-1 e b=2. Logo
V_i(s)=6\cdot\frac{s-(-1)}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}=6\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 4

Interpretação das condições iniciais fornecidas:
  • Foi dado v_{o}(0)=0 e \dfrac{d v_{o}(0)}{dt}=0. Para um sistema de segunda ordem essas duas condições costumam ser exatamente as condições iniciais necessárias para anular a resposta natural; para ordens maiores seriam necessárias mais condições. Em todo caso, tudo o que podemos afirmar sem conhecer o circuito é que, se o circuito for um sistema linear inicialmente em repouso (isto é, sem energia armazenada), então os termos de condição inicial em V_0(s) são zero e
V_0(s)=H(s)\,V_i(s).
  • Se o circuito não estiver em repouso ou tiver ordem diferente, seriam necessários os estados iniciais correspondentes para escrever os termos adicionais.

Passo 5

Expressões gerais no domínio do tempo e do domínio de Laplace (o “plano de ação” quando o circuito for conhecido):
  • Domínio de Laplace: uma vez conhecida H(s) calcula-se
V_0(s)=H(s)\cdot 6\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.
  • Domínio do tempo: inverter a transformada de Laplace para obter v_0(t). Alternativamente, se h(t) for conhecida usar a convolução
v_0(t)=6\int_{0}^{t} h(\tau)\,e^{-(t-\tau)}\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau,
ou reescrever trocando variáveis:
v_0(t)=6\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,e^{-\tau}\cos(2\tau)\,d\tau.

Passo 6

Como proceder explicitamente quando o circuito (ou H(s)) for dado:
    1. Calcular V_i(s) (feito no Passo 3).
    1. Multiplicar por H(s) para obter V_0(s).
    1. Efetuar frações parciais em V_0(s) e inverter cada termo pela tabela de Laplace para obter v_0(t).
  • Se as condições iniciais forem nulas, não há termos extra; se não forem nulas, adicionar os termos devidos (que aparecem na transformação pela presença de condições iniciais nos elementos armazenadores).
  • Técnica alternativa: resolver a equação diferencial do circuito no tempo (montar a EDO a partir das leis de Kirchhoff), inserir v_i(t) e as condições iniciais, e resolver por métodos clássicos (método dos coeficientes indeterminados, variação de parâmetros, ou Laplace). Esses métodos são equivalentes ao uso de H(s).

Passo 7

Exemplos ilustrativos (apenas para ensinar, NÃO são a solução do enunciado porque H(s) não foi dada):
  • Se, por exemplo, o circuito tivesse função de transferência unidade H(s)=1 então
V_0(s)=V_i(s)=6\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}
e, invertendo Laplace,
v_0(t)=6\,e^{-t}\cos(2t),
ou seja, saída igual à entrada (sistema passa‑tudo).
  • Outro exemplo: se H(s)=\dfrac{1}{s+1} (um filtro de primeira ordem com pólo em s=-1), então
V_0(s)=\frac{1}{s+1}\cdot 6\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4} = 6\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.
Invertendo essa transformada pela tabela resulta em
v_0(t)=6\cdot\frac{1}{2}\,e^{-t}\sin(2t)=3\,e^{-t}\sin(2t).
Isto ilustra como diferentes H(s) produzem respostas totalmente diferentes mesmo com a mesma entrada.

Passo 8

Conclusão lógica para o enunciado dado:
  • Já calculamos V_i(s)=6\cdot\dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.
  • Porém, para obter v_0(t) numérico e explícito é necessário conhecer a função de transferência H(s) do circuito (ou a equação diferencial completa do circuito, ou a resposta ao impulso h(t)). Sem essa informação a resposta não é única: diferentes circuitos (diferentes H(s)) levam a diferentes v_0(t).
  • As condições iniciais fornecidas (saída e derivada zero) implicam que, se o sistema for de ordem 2 e estiver em repouso, não haverá termos de condição inicial; ainda assim a resposta depende de H(s).

Resposta

Não é possível determinar v_{0}(t) de forma única porque a função de rede (o circuito, isto é, a função de transferência H(s) ou a resposta ao impulso h(t)) não foi fornecida.

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