3.11 Uma chave BJT controla potência DC para um carga resistiva de 5 \Omega. A fonte de tensão DC V_{\mathrm{S}}=120 \mathrm{~V}, V_{\mathrm{CE}(\mathrm{sat})}=1,2 \mathrm{~V}, V_{\mathrm{BE}(\mathrm{sat})}=1,5 \mathrm{~V}, a resistência de base é de 1,5 \Omega e a tensão de polarização de base V_{\mathrm{BB}}=5 \mathrm{~V}. Se a freqüência for de 5 kHz com t_{\mathrm{SW}(\mathrm{ON})}=1 \mu \mathrm{~s} e t_{\mathrm{SW}(\mathrm{OFF})}=1,5 \mu \mathrm{~s}, determine:
a) \beta
b) a perda de potência no BJT

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados do problema:
    • V_{\mathrm{S}}=120\\ \mathrm{V}
    • V_{\mathrm{CE(sat)}}=1,2\\ \mathrm{V}
    • V_{\mathrm{BE(sat)}}=1,5\\ \mathrm{V}
    • R_{\mathrm{L}}=5\\ \Omega (carga resistiva)
    • R_{\mathrm{B}}=1,5\\ \Omega
    • V_{\mathrm{BB}}=5\\ \mathrm{V}
    • f=5\\ \mathrm{kHz}
    • t_{\mathrm{SW(ON)}}=1\\ \mu\mathrm{s}
    • t_{\mathrm{SW(OFF)}}=1{,}5\\ \mu\mathrm{s}
  • O enunciado pede:
    (a) \beta (ganho de corrente necessário)
    (b) a perda de potência no BJT (energia/ potência média dissipada pelo transistor)
Observação: o enunciado não dá explicitamente o tempo em saturação (tempo em que o BJT está totalmente ligado, isto é, o duty cycle). Para poder calcular uma potência média numérica precisamos de um duty cycle. Vou assumir aqui, porque não foi dado, um ciclo de trabalho D=\tfrac{1}{2} (50%) — isto é uma escolha razoável quando não há informação e o problema dá apenas a frequência e os tempos de comutação. Vou explicitar onde usei essa suposição quando calcular as perdas.

Passo 2

Calcular a corrente de base I_B quando o transistor está saturado (base polarizada por V_{\mathrm{BB}} através de R_B).
Explicação didática rápida: na saturação a junção base-emissor fica com uma queda aproximada V_{\mathrm{BE(sat)}}. A corrente de base é dada por Ohm:
I_B=\frac{V_{\mathrm{BB}}-V_{\mathrm{BE(sat)}}}{R_B}.
Aqui:
I_B=\frac{5-1{,}5}{1{,}5}=\frac{3{,}5}{1{,}5}=2{,}333\ldots\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Calcular a corrente de coletor I_C quando o transistor está saturado e a carga é R_L.
Explicação didática: com o transistor saturado o V_{CE} fica em V_{\mathrm{CE(sat)}}, então quase toda a fonte V_S aparece sobre a carga. A corrente na carga (corrente de coletor aproximada) é:
I_C=\frac{V_S-V_{\mathrm{CE(sat)}}}{R_L}.
Calculando:
I_C=\frac{120-1{,}2}{5}=\frac{118{,}8}{5}=23{,}76\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular o ganho de corrente \beta necessário (razão I_C/I_B).
Explicação didática: \beta é a razão entre corrente de coletor e corrente de base na região linear; em saturação definimos o \beta efetivo como a razão entre I_C alcançado e I_B fornecida.
\beta=\frac{I_C}{I_B}.
Substituindo:
\beta=\frac{23{,}76}{2{,}333\ldots}\approx10{,}19.
Interpretação: para estes valores de base e carga, o ganho efetivo necessário para que a corrente de coletor seja a calculada com a base fornecida é aproximadamente 10{,}2. Se o transistor tiver \beta maior, ele ainda vai saturar (com sobra de base); se tiver menor, pode não atingir I_C esperado.

Passo 5

Explicar como calcular as perdas do BJT e separar os termos (didática): perdas principais são
  • perda por condução quando o transistor está saturado (queda V_{CE(sat)} com corrente I_C);
  • perda por condução na junção base-emissor (queda V_{BE(sat)} com corrente I_B) — isto também aquece o mesmo chip do transistor;
  • perda por comutação (energia dissipada durante os tempos de transição ON e OFF, quando v_{CE} e i_C se sobrepõem).
Fórmulas que vamos usar:
  • perda de condução no C–E em média:
P_{CE,\mathrm{cond}}=V_{\mathrm{CE(sat)}}\;I_C\;D,
onde D é o duty cycle (fração do período em que o transistor está ligado).
  • perda de condução na base (BE) em média:
P_{BE,\mathrm{cond}}=V_{\mathrm{BE(sat)}}\;I_B\;D.
  • perda por comutação (aproximação linear dos rampes, suposição triangular da sobreposição v_{CE}\times i_C):
P_{\mathrm{sw}}=\frac{1}{2}V_S I_C f\left(t_{\mathrm{SW(ON)}}+t_{\mathrm{SW(OFF)}}\right).
Breve justificativa: durante cada transição a energia dissipada é aproximadamente a área do triângulo formado por v_{CE} caindo (ou subindo) e i_C subindo (ou caindo); a expressão resulta de integrar essa sobreposição e multiplicar pela frequência.

Passo 6

Calcular as perdas de condução (usei a suposição D=0{,}5).
Cálculo de P_{CE,\mathrm{cond}}:
P_{CE,\mathrm{cond}}=1{,}2\cdot 23{,}76\cdot 0{,}5=14{,}256\\ \mathrm{W}\approx14{,}26\\ \mathrm{W}.
Cálculo de P_{BE,\mathrm{cond}}:
P_{BE,\mathrm{cond}}=1{,}5\cdot 2{,}333\ldots\cdot 0{,}5=1{,}75\\ \mathrm{W}.
Comentário: estes dois termos juntos representam a potência dissipada enquanto o transistor está no estado ON (saturado) em média ao longo do ciclo.

Passo 7

Calcular a perda por comutação P_{\mathrm{sw}}.
Usando a fórmula:
P_{\mathrm{sw}}=\frac{1}{2}V_S I_C f\left(t_{\mathrm{SW(ON)}}+t_{\mathrm{SW(OFF)}}\right).
Substituindo os valores ( t_{\mathrm{SW(ON)}}=1\\ \mu\mathrm{s}=1\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s}, t_{\mathrm{SW(OFF)}}=1{,}5\\ \mu\mathrm{s}=1{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s}):
t_{\mathrm{SW(ON)}}+t_{\mathrm{SW(OFF)}}=2{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Logo
P_{\mathrm{sw}}=\frac{1}{2}\cdot120\cdot23{,}76\cdot5000\cdot 2{,}5\cdot10^{-6}=17{,}82\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Somar os termos para obter a perda total no transistor (dissipação média no BJT). Vou somar P_{CE,\mathrm{cond}}+P_{BE,\mathrm{cond}}+P_{\mathrm{sw}}:
P_{\mathrm{total}}=14{,}256+1{,}75+17{,}82=33{,}826\\ \mathrm{W}\approx33{,}83\\ \mathrm{W}.
Interpretação final: a maior parcela vem das perdas de comutação e condução C–E; a queda BE contribui uma parcela menor, mas não desprezível.

Resposta

\beta\approx10{,}19
P_{\mathrm{BJT, total}}\approx33{,}83\\ \mathrm{W}

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