[2pt] Calcule a integral:
onde
é a região:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o integrando
. - Dada a região
descrita por - Pergunta: calcular a integral dupla
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A região
é um anel (ou “corona”) centrado na origem, limitado pelas circunferências de raios e , porque os radicandos das desigualdades são e . - O integrando depende apenas de
, ou seja, depende só da distância ao centro.
Passo 2
Escolha de coordenadas e noções necessárias (aula rápida sobre coordenadas polares).
- Quando a região é circular/anelar e o integrando depende de
, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples. - Definição de coordenadas polares:
com e variando tipicamente em . - Elemento de área em coordenadas polares:
Explicação intuitiva: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área é . - Observação prática: sempre que aparecer
substitui-se por ; e não esquecer de multiplicar pelo fator do Jacobiano.
Passo 3
Reescrever a integral em coordenadas polares e estabelecer os limites.
- Substituindo
e , o integrando vira . - O integrando total (incluindo Jacobiano) fica
. - A região
em polares corresponde a e . - Então a integral é
Passo 4
Calcular a integral interna em
.
- Integramos primeiro em
: - Avaliando em
: Colocando em denominador comum : - Avaliando em
: - Subtraindo (valor em
menos valor em ): - Portanto a integral interna dá
.
Passo 5
Integrar em
e concluir.
- Agora a integral total é