[2pt] Calcule a integral:
\iint_{R} x^{2}+y^{2}-9 \mathrm{~d} A
onde R é a região: R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 25, x^{2}+y^{2} \geq 9\right\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o integrando \;x^{2}+y^{2}-9\;.
  • Dada a região R descrita por R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 25,\; x^{2}+y^{2}\ge 9\}.
  • Pergunta: calcular a integral dupla \iint_{R} x^{2}+y^{2}-9 \,\mathrm{d}A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região R é um anel (ou “corona”) centrado na origem, limitado pelas circunferências de raios 3 e 5, porque os radicandos das desigualdades são r^{2}=x^{2}+y^{2} e 9=3^{2},\;25=5^{2}.
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, depende só da distância ao centro.

Passo 2

Escolha de coordenadas e noções necessárias (aula rápida sobre coordenadas polares).
  • Quando a região é circular/anelar e o integrando depende de x^{2}+y^{2}, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples.
  • Definição de coordenadas polares: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,com r\ge 0 e \theta variando tipicamente em [0,2\pi).
  • Elemento de área em coordenadas polares: \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.Explicação intuitiva: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente \mathrm{d}r e r\,\mathrm{d}\theta, então a área é \mathrm{d}r\cdot r\,\mathrm{d}\theta.
  • Observação prática: sempre que aparecer x^{2}+y^{2} substitui-se por r^{2}; e não esquecer de multiplicar pelo fator r do Jacobiano.

Passo 3

Reescrever a integral em coordenadas polares e estabelecer os limites.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, o integrando vira (r^{2}-9).
  • O integrando total (incluindo Jacobiano) fica (r^{2}-9)\,r = r^{3}-9r.
  • A região R em polares corresponde a 3\le r\le 5 e 0\le \theta\le 2\pi.
  • Então a integral é \iint_{R} x^{2}+y^{2}-9 \,\mathrm{d}A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{3}^{5} (r^{3}-9r)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r.
  • Integramos primeiro em r: \int_{3}^{5} (r^{3}-9r)\,\mathrm{d}r =\left[\frac{r^{4}}{4}-\frac{9r^{2}}{2}\right]_{r=3}^{r=5}.
  • Avaliando em r=5: \frac{5^{4}}{4}-\frac{9\cdot 5^{2}}{2} =\frac{625}{4}-\frac{9\cdot 25}{2} =\frac{625}{4}-\frac{225}{2}.Colocando em denominador comum 4: \frac{625}{4}-\frac{450}{4}=\frac{175}{4}.
  • Avaliando em r=3: \frac{3^{4}}{4}-\frac{9\cdot 3^{2}}{2} =\frac{81}{4}-\frac{9\cdot 9}{2} =\frac{81}{4}-\frac{81}{2} =\frac{81}{4}-\frac{162}{4}=-\frac{81}{4}.
  • Subtraindo (valor em 5 menos valor em 3): \frac{175}{4}-\big(-\frac{81}{4}\big)=\frac{175+81}{4}=\frac{256}{4}=64.
  • Portanto a integral interna dá 64.

Passo 5

Integrar em \theta e concluir.
  • Agora a integral total é \int_{0}^{2\pi} 64\,\mathrm{d}\theta =64\,[\theta]_{0}^{2\pi}=64\cdot 2\pi =128\pi.

Resposta

128\pi

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