A aceleração do centro de massa de um sistema é dada pela função a=4,5 t+ 2,4 t^2+1,1 t^3, em que a está em m / s 2 e t está em s . Se o sistema parte do
repouso no instante t=0, qual é a velocidade do centro de massa no instante t=2,0 s ?
a) 20 m / s
b) 27 m / s
c) 14 m / s
d) 10 m / s
e)nenhuma alternativa.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um sistema cujo centro de massa tem aceleração dada por
a(t) = 4,5,t + 2,4,t^2 + 1,1,t^3
em que tá em e em segundos. O sistema parte do repouso em , e a gente quer descobrir qual é a velocidade no instante .
Conteúdo que vamos usar: cálculo de integração (pra passar de aceleração pra velocidade) e condição inicial pra achar a constante de integração.

Passo 2

Teoria básica: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja
a(t) = dvdt
Pra achar v(t) = integral a(t),dt + C, , a gente integra :
sendo a constante de integração que a gente determina usando a condição inicial .

Passo 3

Vamos escrever o integral de cada termo de v(t) = integral l(4,5,t + 2,4,t^2 + 1,1,t^3r) dt + C :
v(t) = 2,25,t^2 + 0,8,t^3 + 0,275,t^4 + C
Integramos termo a termo:
  • .
  • .
  • .
Então

Passo 4

Agora usamos a condição v(0) = 2,25cdot0^2 + 0,8cdot0^3 + 0,275cdot0^4 + C = C para achar v(t) = 2,25,t^2 + 0,8,t^3 + 0,275,t^4 :
Como , a gente tem . Logo

Passo 5

Basta agora avaliar em v(2) = 2,25cdot(2)^2 + 0,8cdot(2)^3 + 0,275cdot(2)^4 :
v(2) = 9 + 6,4 + 4,4 = 19,8;rm m/s
Calculando cada pedaço:
Somando tudo:

Resposta

A velocidade do centro de massa em é aproximadamente .

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