A aceleração a de um objeto é dada como uma função do tempo t:
a=4-t10 m / s^2
O modelo é válido para 0 <= t <= 80 s. Considerando que o objeto parte do repouso em x=0, encontre a distância percorrida pelo objeto quando t=80 s.

Passo 1

Opa, vamos recapitular: a aceleração do objeto varia no tempo segundo
a(t)=4-t10m/s^2,
válido de t=0 até t=80,s. O objeto parte do repouso ( v(0)=0) em x(0)=0.
Conteúdo: cinemática básica com integração. A ideia é integrar a(t) pra achar v(t) e depois integrar v(t) pra achar x(t).

Passo 2

Primeiro, vamo integrar a aceleração pra achar a velocidade. A teoria aqui é que velocidade é a integral da aceleração:
v(t)=integral a(t),dt = integrall(4-t10r),dt
Fazendo a integral:
v(t)=4t-t^220+C
Como o objeto parte do repouso ( v(0)=0), temos
0 = v(0)=4cdot0-0^220+C ;longrightarrow; C=0
Logo
boxedv(t)=4t-t^220,

Passo 3

Agora, pra achar a posição x(t), integramos v(t). A teoria é que deslocamento é a integral da velocidade:
x(t)=integral v(t),dt = integrall(4t-t^220r),dt
Fazendo a conta:
x(t)=2t^2-t^360+D
Como x(0)=0, temos
0 = x(0)=2cdot0^2-0^360+D;longrightarrow; D=0
Então
boxedx(t)=2t^2-t^360,

Passo 4

É só pôr t=80,s em x(t):
x(80)=2,(80)^2-(80)^360 =2cdot6400-51200060 =12800-51200060
Calculando:
51200060=8533,333ldotsRightarrow x(80)=12800-8533,333=4266,666ldots

Resposta

A distância percorrida em t=80,s é aproximadamente
boxed4266,67 m

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