A posição de uma partícula é descrita por coordenadas polares sendo r=4(1+sen t) me theta=(2 e^-t) rad, sendo t dado em segundos e o argumento do seno dado em radianos. Determine as componentes vr, vtheta, ar, atheta da velocidade e aceleração da partícula quando t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: a posição da partícula em coordenadas polares é

O conteúdo aqui é cinemática em coordenadas polares. Para resolver precisamos:
1) saber derivar funções (derivadas de r(t)=4l(1+sen tr)etheta(t)=2e^-t, e r(t)),
2) conhecer as fórmulas das componentes radial e transversal (ou angular) de velocidade e aceleração em polares.
As fórmulas que vamos usar são:
theta(t)
vr=dot r, vtheta = r,dottheta

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas de r e theta:
  1. .
  2. dot r(t)=ddtl[4(1+sen t)r]=4cos t.
    Agora avaliamos em dottheta(t)=ddt[2e^-t]=-2e^-ts:
t=2,
dot r(2)=4cos2approx4cdot(-0,4161)=-1,6644 m/s,

Passo 3

Para achar as componentes da velocidade usamos:
vr=dot r, vtheta=r,dottheta
Mas faltou o r(2):
Então
r(2)=4l(1+sen2r)=4l(1+0,9093r)=7,6372 m
vr(2)=-1,6644 m/s,

Passo 4

Agora precisamos das segundas derivadas:
  1. .
  2. ddot r(t)=ddt[4cos t]=-4sen t.
    Em ddottheta(t)=ddt[-2e^-t]=2e^-ts:
t=2,

Passo 5

Com tudo calculado, aplicamos as fórmulas de aceleração:
ar=ddot r - r,dottheta^2 =-3,6372 - 7,6372,( -0,2707)^2 =-3,6372 -7,6372cdot0,0733 approx -4,1973 m/s^2,
atheta = r,ddottheta +2,dot r,dottheta =7,6372cdot0,2707 +2cdot(-1,6644)cdot(-0,2707) approx2,0670 +0,9012 =2,9682 m/s^2

Resposta

As componentes da velocidade e da aceleração no instante t=2,s são:
vr=-1,6644 m/s, vtheta=-2,0670 m/s,
$

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