Aline e Roberto jogam o seguinte jogo. Primeiro Aline pega aleatoriamente 4 cartas de um baralho de 52 cartas, memoriza as cartas e as coloca de volta no baralho. Então Roberto seleciona aleatoriamente 8 cartas do mesmo baralho. Aline ganha se as suas 4 cartas estiverem entre as 8 cartas selecionadas por Roberto. Qual é a probabilidade de que isso aconteça?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Aline pega aleatoriamente 4 cartas de um baralho padrão de 52 cartas, memoriza-as e as devolve ao baralho. Portanto, as 4 cartas de Aline formam um conjunto fixo de 4 cartas dentro do baralho de 52 (mas escolhido aleatoriamente).
  • Roberto, depois, seleciona aleatoriamente 8 cartas do mesmo baralho (sem reposição).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que as 4 cartas que Aline memorizou estejam todas entre as 8 cartas que Roberto seleciona?

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo, sem jargões): vamos contar de forma correta quantas escolhas de 8 cartas favorecem Aline e dividir pelo número total possível de escolhas de 8 cartas. Essa é a ideia clássica de “favourable outcomes / total outcomes” para probabilidades discretas.
Antes de usar isso, introduzo a ferramenta que vamos usar: o coeficiente binomial (ou combinação).
  • O símbolo \binom{n}{k} (lido “n escolhe k”) representa o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto de n elementos, sem levar em conta ordem.
  • Fórmula explícita:
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui n é o tamanho do conjunto e k é quantos escolhemos; k! é k fatorial, produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot k.
No nosso problema:
  • O número total de escolhas possíveis que Roberto pode fazer (escolher 8 cartas dentre 52) é \binom{52}{8}.
  • Agora vamos contar quantas dessas escolhas contêm as 4 cartas de Aline.

Passo 3

Contagem das escolhas favoráveis:
  • Se as 4 cartas de Aline devem estar entre as 8 de Roberto, então além dessas 4 fixas Roberto precisa escolher mais 4 cartas dentre as restantes 52-4=48 cartas do baralho.
  • O número de maneiras de escolher esses 4 complementares é \binom{48}{4}.
  • Logo, o número de escolhas de 8 cartas que contêm as 4 de Aline é \binom{48}{4}.
Assim a probabilidade procurada é
\frac{\text{nº de escolhas favoráveis}}{\text{nº total de escolhas}} = \frac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{8}}.ºáº

Passo 4

Explicar e simplificar a expressão (para você entender como manipular em prova sem calculadora):
  • Use a definição em produtos para ver uma forma alternativa e mais direta:
\frac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{8}} = \frac{\dfrac{48\cdot47\cdot46\cdot45}{4!}}{\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45}{8!}} = \frac{8!}{4!}\cdot\frac{1}{52\cdot51\cdot50\cdot49}.
Como \dfrac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680, obtemos
\frac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{8}}=\frac{1680}{52\cdot51\cdot50\cdot49}.
Outra forma intuitiva equivalente (útil em prova) é ver como as 4 cartas de Aline podem cair dentre as 8 posições escolhidas: a probabilidade de que todas as 4 estejam entre as 8 primeiras posições de uma permutação aleatória do baralho é
\frac{\binom{8}{4}}{\binom{52}{4}}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{52\cdot51\cdot50\cdot49},
e isso é algebraicamente igual à expressão anterior (multiplicando numerador e denominador por fatores apropriados dá o mesmo valor). Em versão de produto, isso dá
\left(\frac{8}{52}\right)\left(\frac{7}{51}\right)\left(\frac{6}{50}\right)\left(\frac{5}{49}\right),
que é intuitivo: a primeira das cartas de Aline tem probabilidade 8/52 de estar entre as 8 escolhidas, dado isso a segunda tem 7/51 e assim por diante — o produto dá a mesma probabilidade final.

Passo 5

Cálculo numérico aproximado (para ter noção do tamanho):
  • Calculando o denominador: 52\cdot51\cdot50\cdot49=6\,497\,400.
  • Então
\frac{1680}{6\,497\,400}\approx 0{,}000258704.
Ou seja, cerca de 2{,}587\times10^{-4}, uma probabilidade bem pequena (aprox. 0{,}02587\%).

Passo 6

Resumo final curto (como você pode responder rápido na prova):
  • Escreva a razão de combinações \dfrac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{8}}.
  • Se pedirem forma decimal, apresente \approx 0{,}000258704.
    Força aí — a resolução é direta depois de entender que é combinação de favoráveis sobre total; decorar a passagem para o produto pode salvar tempo na prova.

Resposta

\frac{\binom{48}{4}}{\binom{52}{8}}=\frac{1680}{52\cdot51\cdot50\cdot49}\approx0{,}000258704

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