Aline e Roberto jogam o seguinte jogo. Primeiro Aline pega aleatoriamente 4 cartas de um baralho de 52 cartas, memoriza as cartas e as coloca de volta no baralho. Então Roberto seleciona aleatoriamente 8 cartas do mesmo baralho. Aline ganha se as suas 4 cartas estiverem entre as 8 cartas selecionadas por Roberto. Qual é a probabilidade de que isso aconteça?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Aline pega aleatoriamente 4 cartas de um baralho padrão de 52 cartas, memoriza-as e as devolve ao baralho. Portanto, as 4 cartas de Aline formam um conjunto fixo de 4 cartas dentro do baralho de 52 (mas escolhido aleatoriamente).
- Roberto, depois, seleciona aleatoriamente 8 cartas do mesmo baralho (sem reposição).
- Pergunta: qual é a probabilidade de que as 4 cartas que Aline memorizou estejam todas entre as 8 cartas que Roberto seleciona?
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo, sem jargões): vamos contar de forma correta quantas escolhas de 8 cartas favorecem Aline e dividir pelo número total possível de escolhas de 8 cartas. Essa é a ideia clássica de “favourable outcomes / total outcomes” para probabilidades discretas.
Antes de usar isso, introduzo a ferramenta que vamos usar: o coeficiente binomial (ou combinação).
- O símbolo
(lido “n escolhe k”) representa o número de maneiras de escolher elementos distintos de um conjunto de elementos, sem levar em conta ordem. - Fórmula explícita:
Aqui
é o tamanho do conjunto e
é quantos escolhemos;
é
fatorial, produto
.
No nosso problema:
- O número total de escolhas possíveis que Roberto pode fazer (escolher 8 cartas dentre 52) é
. - Agora vamos contar quantas dessas escolhas contêm as 4 cartas de Aline.
Passo 3
Contagem das escolhas favoráveis:
- Se as 4 cartas de Aline devem estar entre as 8 de Roberto, então além dessas 4 fixas Roberto precisa escolher mais 4 cartas dentre as restantes
cartas do baralho. - O número de maneiras de escolher esses 4 complementares é
. - Logo, o número de escolhas de 8 cartas que contêm as 4 de Aline é
.
Assim a probabilidade procurada é
Passo 4
Explicar e simplificar a expressão (para você entender como manipular em prova sem calculadora):
- Use a definição em produtos para ver uma forma alternativa e mais direta:
Como
, obtemos
Outra forma intuitiva equivalente (útil em prova) é ver como as 4 cartas de Aline podem cair dentre as 8 posições escolhidas: a probabilidade de que todas as 4 estejam entre as 8 primeiras posições de uma permutação aleatória do baralho é
e isso é algebraicamente igual à expressão anterior (multiplicando numerador e denominador por fatores apropriados dá o mesmo valor). Em versão de produto, isso dá
que é intuitivo: a primeira das cartas de Aline tem probabilidade
de estar entre as 8 escolhidas, dado isso a segunda tem
e assim por diante — o produto dá a mesma probabilidade final.
Passo 5
Cálculo numérico aproximado (para ter noção do tamanho):
- Calculando o denominador:
. - Então
Ou seja, cerca de
, uma probabilidade bem pequena (aprox.
).
Passo 6
Resumo final curto (como você pode responder rápido na prova):
- Escreva a razão de combinações
. - Se pedirem forma decimal, apresente
.
Força aí — a resolução é direta depois de entender que é combinação de favoráveis sobre total; decorar a passagem para o produto pode salvar tempo na prova.