Considere que a pressão arterial sistólica segue uma distribuição normal. Um pesquisador está interessado em estimar a média da pressão arterial sistólica da população adulta de uma cidade. Ele coleta uma amostra aleatória de 18 adultos e encontra uma média amostral de 125 mmHg , com um desvio padrão amostral de 16 mmHg . Obtenha um intervalo de confiança de
para a média populacional da pressão arterial sistólica.
Resposta: Tem-se:
-
;
↓
;
-
.
Note que,
, então
. Tem-se:
em que
. Logo,
. Substituindo na expressão do intervalo de confiança, tem-se:
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que preciso para começar).
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
(mmHg). - Desvio padrão amostral:
(mmHg). - Nível de confiança desejado:
(então ).
O que o enunciado pede: obter um intervalo de confiança depara a média populacional da pressão arterial sistólica.
Passo 2
Escolhendo a fórmula apropriada e explicando por que ela vale aqui.
Como a amostra é pequena ( ) e a variância populacional não é conhecida (temos apenas
), devemos usar a distribuição
de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida é:
Como a amostra é pequena (
Explicando cada termo:
-
é a média amostral, aqui . -
é o desvio padrão amostral, aqui . -
é o tamanho da amostra, aqui . -
é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade da média amostral em torno da média populacional. -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade tal que . Para e , a tabela (ou calculadora) dá
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (passo a passo numérico).
Primeiro a raiz de :
Primeiro a raiz de
Agora o erro padrão:
Explanação curta: o
diz quanto, em média, a média amostral
varia de amostra para amostra; utilizar
em vez de
introduz incerteza extra que a distribuição
corrige.
Passo 4
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo.
A margem de erro é
A margem de erro é
Agora os extremos do intervalo:
Portanto o intervalo de confiança de
é aproximadamente
.
Passo 5
Interpretação intuitiva (para usar na prova ou relatar resultados).
Significa que, com de confiança, o valor verdadeiro da média populacional
da pressão arterial sistólica está entre
mmHg e
mmHg. Em linguagem menos formal: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos um intervalo do mesmo tipo cada vez, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Força — esse é o procedimento padrão para médias com
estimado e amostra pequena.
Significa que, com