(2,0) Considere que a pressão arterial sistólica segue uma distribuição normal. Um pesquisador está interessado em estimar a média da pressão arterial sistólica da população adulta de uma cidade. Ele coleta uma amostra aleatória de 18 adultos e encontra uma média amostral de 125 mmHg , com um desvio padrão amostral de 16 mmHg . Obtenha um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional da pressão arterial sistólica.
Resposta: Tem-se:
  • n=18;
\bar{x}=125;
  • s=16.
Note que, 1-\alpha=0,95, então \alpha=0,05. Tem-se:
I C(\mu)=\left(\bar{X}-t_{(\alpha / 2, n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X}+t_{(\alpha / 2, n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)
em que P\left(T>t_{(\alpha / 2, n-1)}\right)=\alpha / 2. Logo, t_{(0,025 ; 17)}=2,1098. Substituindo na expressão do intervalo de confiança, tem-se:
\begin{aligned} I C(\mu) & =\left(125-2,1098 \cdot \frac{16}{\sqrt{18}} ; 125+2,1098 \cdot \frac{16}{\sqrt{18}}\right) \\\ & =(117,04 ; 132,96) \end{aligned}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que preciso para começar).
  • Tamanho da amostra: n=18.
  • Média amostral: \bar{X}=125 (mmHg).
  • Desvio padrão amostral: s=16 (mmHg).
  • Nível de confiança desejado: 1-\alpha=0,95 (então \alpha=0,05).
    O que o enunciado pede: obter um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu da pressão arterial sistólica.

Passo 2

Escolhendo a fórmula apropriada e explicando por que ela vale aqui.
Como a amostra é pequena ( n=18) e a variância populacional não é conhecida (temos apenas s), devemos usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida é:
IC(\mu)=\left(\bar{X}-t_{(\alpha/2,\,n-1)}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},\\ \bar{X}+t_{(\alpha/2,\,n-1)}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\right).
Explicando cada termo:
  • \bar{X} é a média amostral, aqui \bar{X}=125.
  • s é o desvio padrão amostral, aqui s=16.
  • n é o tamanho da amostra, aqui n=18.
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade da média amostral em torno da média populacional.
  • t_{(\alpha/2,\,n-1)} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que P(T>t_{(\alpha/2,\,n-1)})=\alpha/2. Para \alpha=0,05 e n-1=17, a tabela (ou calculadora) dá
t_{(0,025;\,17)}=2,1098.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo a passo numérico).
Primeiro a raiz de n:
\sqrt{n}=\sqrt{18}\approx 4,2426.
Agora o erro padrão:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{16}{\sqrt{18}}=\frac{16}{4,2426}\approx 3,7712\approx 3,77.
Explanação curta: o SE diz quanto, em média, a média amostral \bar{X} varia de amostra para amostra; utilizar s em vez de \sigma introduz incerteza extra que a distribuição t corrige.

Passo 4

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo.
A margem de erro é
\text{ME}=t_{(0,025;\,17)}\cdot SE=2,1098\cdot 3,7712\approx 7,957\approx 7,96.
Agora os extremos do intervalo:
\text{Limite inferior }= \bar{X}-\text{ME}=125-7,96=117,04,
\text{Limite superior }= \bar{X}+\text{ME}=125+7,96=132,96.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente (117,04;\\\ 132,96).

Passo 5

Interpretação intuitiva (para usar na prova ou relatar resultados).
Significa que, com 95\% de confiança, o valor verdadeiro da média populacional \mu da pressão arterial sistólica está entre 117,04 mmHg e 132,96 mmHg. Em linguagem menos formal: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos um intervalo do mesmo tipo cada vez, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Força — esse é o procedimento padrão para médias com s estimado e amostra pequena.

Resposta

(117,04;\\\ 132,96)

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