((2,0)) Uma fábrica de chips eletrônicos sabe, com base em dados históricos, que aproximadamente (5 %) dos chips produzidos são defeituosos. Cada chip é testado individualmente antes de ser enviado ao mercado. Suponha que os testes são independentes e que a probabilidade de um chip ser defeituoso é constante e igual a (p=0,05).
Agora, considere que os chips estão sendo testados um por um, em sequência. Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no (5^{\mathrm{O}}) teste? Qual é o número esperado de testes até que o primeiro chip defeituoso seja encontrado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Probabilidade de um chip ser defeituoso: p=0,05.
  • Testes são independentes e realizados um a um em sequência.
  • Perguntas:
    1. Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no 5^{\mathrm{o}} teste?
    2. Qual é o número esperado de testes até que o primeiro chip defeituoso seja encontrado?

Passo 2

Modelagem do problema (intuição passo a passo).
  • Estamos fazendo testes repetidos até obter o primeiro “sucesso”, onde aqui “sucesso” = encontrar um chip defeituoso. Cada teste é uma tentativa independente com probabilidade constante p de sucesso.
  • Uma variável natural para modelar isso é a variável aleatória X = número de testes até o primeiro defeituoso. Para esse cenário vale a lei conhecida (e intuitiva): para que o primeiro defeituoso ocorra exatamente no teste k é preciso ter k-1 falhas (chips bons) seguidas e então um defeituoso no k-ésimo.
  • Assim a probabilidade de \{X=k\} é a multiplicação da probabilidade de k-1 falhas seguidas por uma falha final: (1-p)^{k-1}p. Não é preciso mais nada além da independência e da probabilidade constante para justificar isso.

Passo 3

Fórmula da probabilidade pedida e aplicação para k=5.
  • Fórmula geral: \displaystyle \mathbb{P}(X=k) = (1-p)^{k-1} p.
  • Para k=5 substituímos p=0,05:
\mathbb{P}(X=5) = (1-0,05)^{4}\cdot 0,05 = (0,95)^{4}\cdot 0,05.
  • Vamos calcular (0,95)^{4} por multiplicações sucessivas (maneira que dá para fazer sem calculadora avançada):
    • 0,95^{2} = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.
    • 0,95^{3} = 0,9025\cdot 0,95 = 0,857375.
    • 0,95^{4} = 0,857375\cdot 0,95 = 0,81450625.
  • Multiplicando por p=0,05:
\mathbb{P}(X=5) = 0,81450625\cdot 0,05 = 0,0407253125 \approx 0,040725.
  • Interpretação rápida: cerca de 4,07\% de chance de o primeiro defeituoso aparecer exatamente no quinto teste.

Passo 4

Cálculo do número esperado de testes até o primeiro defeituoso (intuição e demonstração).
  • Intuição: se a cada teste a chance de encontrar um defeituoso é p, em média espera-se fazer 1/p testes até o primeiro sucesso. Vamos demonstrar isso de forma formal.
  • Definição do valor esperado:
\mathbb{E}[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k\,\mathbb{P}(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
  • Para somar essa série usamos um truque com a série geométrica. Primeiro, para |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}.
  • Derivando ambos os lados em relação a r obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}}.
  • Tomando r=1-p temos
\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1} = \frac{1}{\bigl(1-(1-p)\bigr)^{2}} = \frac{1}{p^{2}}.
  • Multiplicando por p (porque na expectativa há um fator p):
\mathbb{E}[X] = p\cdot \frac{1}{p^{2}} = \frac{1}{p}.
  • Conclusão: a esperança da distribuição geométrica com parâmetro p é \mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{p}.

Passo 5

Aplicação numérica ao caso p=0,05.
  • Substituindo \\ p=0,05 na fórmula \mathbb{E}[X]=1/p:
\mathbb{E}[X] = \frac{1}{0,05} = 20.
  • Interpretação: em média serão necessários 20 testes até encontrar o primeiro chip defeituoso.

Resposta

\mathbb{P}(\text{o 1º defeituoso no 5º teste}) = (0,95)^{4}\cdot 0,05 \approx 0,040725.ºº
\mathbb{E}[\text{nº de testes até o 1º defeituoso}] = \dfrac{1}{0,05} = 20.ºéº

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