((2,0)) Uma fábrica de chips eletrônicos sabe, com base em dados históricos, que aproximadamente (5 %) dos chips produzidos são defeituosos. Cada chip é testado individualmente antes de ser enviado ao mercado. Suponha que os testes são independentes e que a probabilidade de um chip ser defeituoso é constante e igual a (p=0,05).
Agora, considere que os chips estão sendo testados um por um, em sequência. Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no (5^{\mathrm{O}}) teste? Qual é o número esperado de testes até que o primeiro chip defeituoso seja encontrado?
Agora, considere que os chips estão sendo testados um por um, em sequência. Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no (5^{\mathrm{O}}) teste? Qual é o número esperado de testes até que o primeiro chip defeituoso seja encontrado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
- Probabilidade de um chip ser defeituoso:
. - Testes são independentes e realizados um a um em sequência.
- Perguntas:
- Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no
teste? - Qual é o número esperado de testes até que o primeiro chip defeituoso seja encontrado?
- Qual é a probabilidade de que o primeiro chip defeituoso seja encontrado exatamente no
Passo 2
Modelagem do problema (intuição passo a passo).
- Estamos fazendo testes repetidos até obter o primeiro “sucesso”, onde aqui “sucesso” = encontrar um chip defeituoso. Cada teste é uma tentativa independente com probabilidade constante
de sucesso. - Uma variável natural para modelar isso é a variável aleatória
= número de testes até o primeiro defeituoso. Para esse cenário vale a lei conhecida (e intuitiva): para que o primeiro defeituoso ocorra exatamente no teste é preciso ter falhas (chips bons) seguidas e então um defeituoso no -ésimo. - Assim a probabilidade de
é a multiplicação da probabilidade de falhas seguidas por uma falha final: . Não é preciso mais nada além da independência e da probabilidade constante para justificar isso.
Passo 3
Fórmula da probabilidade pedida e aplicação para
.
- Fórmula geral:
- Para
substituímos :
- Vamos calcular
por multiplicações sucessivas (maneira que dá para fazer sem calculadora avançada): -
- Multiplicando por
:
- Interpretação rápida: cerca de
de chance de o primeiro defeituoso aparecer exatamente no quinto teste.
Passo 4
Cálculo do número esperado de testes até o primeiro defeituoso (intuição e demonstração).
- Intuição: se a cada teste a chance de encontrar um defeituoso é
, em média espera-se fazer testes até o primeiro sucesso. Vamos demonstrar isso de forma formal. - Definição do valor esperado:
- Para somar essa série usamos um truque com a série geométrica. Primeiro, para
vale
- Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
- Tomando
temos
- Multiplicando por
(porque na expectativa há um fator ):
- Conclusão: a esperança da distribuição geométrica com parâmetro
é .
Passo 5
Aplicação numérica ao caso
.
- Substituindo
na fórmula :
- Interpretação: em média serão necessários
testes até encontrar o primeiro chip defeituoso.