A mais nova invenção de um cassino é um dado de três faces numeradas 1,2 e 3. A distribuição de probabilidade do resultado de um lançamento deste dado é
p_{X}(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { se } x=1 \\\\ 1 / 4 & \text { se } x=2 \\\\ 1 / 4 & \text { se } x=3 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}á
Considere uma sequência de seis lançamentos independentes deste dado e seja X_{i} a variável aleatória correspondendo ao lançamento do i-ésimo dado.
a) Qual a probabilidade de que exatamente três lançamentos dos dados tenham resultado igual a 3 ?
b) Qual a probabilidade de que o primeiro lançamento seja 1, dado que exatamente dois dos seis lançamentos tiveram resultado igual a 1 ?
c) Condocionado no evento de que pelo menos um lançamento teve resultado 3, encontre a função de probabilidade do número de resultados iguais a 3 .

Passo 1

O enunciado fornece um dado com três faces \{1,2,3\}\) e distribuição \[p_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & \text{se } x=1,\\[6pt] \dfrac{1}{4}, & \text{se } x=2,\\[6pt] \dfrac{1}{4}, & \text{se } x=3,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Há uma sequência de seis lançamentos independentes e X_i\] é o resultado do \(i-ésimo lançamento.
O enunciado pede:
  • (a) a probabilidade de que exatamente três lançamentos tenham resultado igual a 3;
  • (b) a probabilidade de que o primeiro lançamento seja 1, dado que exatamente dois dos seis lançamentos tiveram resultado igual a 1;
  • (c) condicionado ao evento de que pelo menos um lançamento teve resultado 3, encontrar a função de probabilidade (pmf) do número de resultados iguais a 3.
Informações relevantes extraídas:
  • Número de ensaios: n=6.
  • Probabilidade de obter 3 num lançamento: p_{3}=\dfrac{1}{4}.
  • Probabilidade de não obter 3 num lançamento: 1-p_{3}=\dfrac{3}{4}.
  • Os lançamentos são independentes (posso usar modelos binomiais).
  • Probabilidade de obter 1 num lançamento: p_{1}=\dfrac{1}{2}.
  • Probabilidade de não obter 1 num lançamento: 1-p_{1}=\dfrac{1}{2}.]

Passo 2

Explicação didática do modelo binomial (ferramenta que vamos usar).
  • Situação: repetir n ensaios independentes, cada um com duas categorias de interesse (por exemplo: “é 3” vs “não é 3”), com probabilidade fixa p de sucesso (ex.: p=p_3).
  • Variável binomial: se Y conta o número de sucessos em n ensaios, então Y\sim\mathrm{Bin}(n,p) e a função massa de probabilidade é
P(Y=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso;
  • p^{k} é a probabilidade dos k sucessos ocorrerem;
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k insucessos;
  • k varia de 0 a n.
    Vou aplicar esse modelo com n=6 e p=p_3=\dfrac{1}{4} quando contar ocorrências de 3; e com p=p_1=\dfrac{1}{2} quando contar ocorrências de 1.

Passo 3

Definindo Y como o número de lançamentos (entre os 6) que resultam em 3, então Y\sim\mathrm{Bin}(6,p_3) com p_3=\dfrac{1}{4}. Pelo pmf binomial,
P(Y=3)=\binom{6}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}.
Agora calculamos passo a passo:
\binom{6}{3}=\dfrac{6!}{3!3!}=20,
\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{64},\qquad \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{27}{64}.
Multiplicando:
P(Y=3)=20\cdot\dfrac{1}{64}\cdot\dfrac{27}{64}=20\cdot\dfrac{27}{4096}=\dfrac{540}{4096}.
Simplificando por 4:
\dfrac{540}{4096}=\dfrac{135}{1024}\approx 0,1318.
Portanto a probabilidade pedida é \dfrac{135}{1024}.

Passo 4

Denotar:
  • A: evento \{X_1=1\};
  • B: evento \{exatamente dois dos seis lançamentos são 1 \}.
Queremos P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Cálculo de P(B): o número total de 1's em 6 lançamentos segue \mathrm{Bin}(6,p_1) com p_1=\dfrac{1}{2}. Logo
P(B)=P(\text{2 uns})=\binom{6}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\binom{6}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6}.
\binom{6}{2}=15,\quad\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6}=\dfrac{1}{64}\quad\Rightarrow\quad P(B)=\dfrac{15}{64}.
Cálculo de P(A\cap B): acontecer A\cap B significa que o primeiro é 1 e, entre os outros 5, há exatamente mais um 1. Como os lançamentos são independentes,
P(A\cap B)=P(X_1=1)\cdot P(\text{exatamente 1 '1' entre os outros 5}).
Temos P(X_1=1)=\dfrac{1}{2}. Para os outros 5, a distribuição de uns é \mathrm{Bin}(5,\tfrac{1}{2}), então
P(\text{exatamente 1 '1' em 5})=\binom{5}{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=5\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{5}{32}.
Assim
P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{32}=\dfrac{5}{64}.
Agora a probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\tfrac{5}{64}}{\tfrac{15}{64}}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}.
Interpretação simples (intuição): dado que há exatamente dois lançamentos iguais a 1 entre os seis, esses dois 1's são igualmente prováveis de estarem em qualquer par de posições; assim a chance de que a posição 1 esteja ocupada por um desses dois é 2/6=1/3 (mesma resposta, lógica por simetria).

Passo 5

Definir Y como antes: número de resultados 3 em 6 ensaios, então Y\sim\mathrm{Bin}(6,p_3) com p_3=\dfrac{1}{4}. A pmf não condicionada é
P(Y=k)=\binom{6}{k}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-k},\qquad k=0,1,\dots,6.
Queremos a pmf condicionada no evento Y\ge1. Pela definição de probabilidade condicional,
P(Y=k\mid Y\ge1)=\dfrac{P(Y=k \text{ e } Y\ge1)}{P(Y\ge1)}=\dfrac{P(Y=k)}{1-P(Y=0)},\qquad k=1,2,\dots,6.
Aqui P(Y=0)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6}. Então a função de probabilidade condicionada é
P(Y=k\mid Y\ge1)=\dfrac{\binom{6}{k}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-k}}{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6}},\qquad k=1,2,\dots,6.
Se quiser, pode-se calcular o denominador numericamente:
\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6}=\dfrac{3^{6}}{4^{6}}=\dfrac{729}{4096},
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1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6}=\dfrac{4096-729}{4096}=\dfrac{3367}{4096}.
Portanto cada probabilidade condicional pode também ser escrita como
P(Y=k\mid Y\ge1)=\dfrac{\binom{6}{k}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6-k}}{\tfrac{3367}{4096}}=\dfrac{4096}{3367}\,\binom{6}{k}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6-k}.

Resposta

(a) \dfrac{135}{1024}
(b) \dfrac{1}{3}
(c) \displaystyle P(Y=k\mid Y\ge1)=\frac{\binom{6}{k}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6-k}}{1-\left(\tfrac{3}{4}\right)^{6}},\quad k=1,2,\dots,6

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