A mais nova invenção de um cassino é um dado de três faces numeradas 1,2 e 3. A distribuição de probabilidade do resultado de um lançamento deste dado é
p_{X}(x)= \begin{cases}1 / 2 & \text { se } x=1 \\\\ 1 / 4 & \text { se } x=2 \\\\ 1 / 4 & \text { se } x=3 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Considere uma sequência de seis lançamentos independentes deste dado e seja X_{i} a variável aleatória correspondendo ao lançamento do i-ésimo dado.
a) Qual a probabilidade de que exatamente três lançamentos dos dados tenham resultado igual a 3 ?
b) Qual a probabilidade de que o primeiro lançamento seja 1, dado que exatamente dois dos seis lançamentos tiveram resultado igual a 1 ?
c) Condocionado no evento de que pelo menos um lançamento teve resultado 3, encontre a função de probabilidade do número de resultados iguais a 3 .
Passo 1
O enunciado fornece um dado com três faces \{1,2,3\}\) e distribuição
\[p_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & \text{se } x=1,\\[6pt] \dfrac{1}{4}, & \text{se } x=2,\\[6pt] \dfrac{1}{4}, & \text{se } x=3,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Há uma sequência de seis lançamentos independentes e X_i\] é o resultado do \(i-ésimo lançamento.
O enunciado pede:
(a) a probabilidade de que exatamente três lançamentos tenham resultado igual a 3;
(b) a probabilidade de que o primeiro lançamento seja 1, dado que exatamente dois dos seis lançamentos tiveram resultado igual a 1;
(c) condicionado ao evento de que pelo menos um lançamento teve resultado 3, encontrar a função de probabilidade (pmf) do número de resultados iguais a 3.
Informações relevantes extraídas:
Número de ensaios: n=6.
Probabilidade de obter 3 num lançamento: p_{3}=\dfrac{1}{4}.
Probabilidade de não obter 3 num lançamento: 1-p_{3}=\dfrac{3}{4}.
Os lançamentos são independentes (posso usar modelos binomiais).
Probabilidade de obter 1 num lançamento: p_{1}=\dfrac{1}{2}.
Probabilidade de não obter 1 num lançamento: 1-p_{1}=\dfrac{1}{2}.]
Passo 2
Explicação didática do modelo binomial (ferramenta que vamos usar).
Situação: repetir n ensaios independentes, cada um com duas categorias de interesse (por exemplo: “é 3” vs “não é 3”), com probabilidade fixa p de sucesso (ex.: p=p_3).
Variável binomial: se Y conta o número de sucessos em n ensaios, então Y\sim\mathrm{Bin}(n,p) e a função massa de probabilidade é
P(Y=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde:
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso;
p^{k} é a probabilidade dos k sucessos ocorrerem;
(1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k insucessos;
k varia de 0 a n.
Vou aplicar esse modelo com n=6 e p=p_3=\dfrac{1}{4} quando contar ocorrências de 3; e com p=p_1=\dfrac{1}{2} quando contar ocorrências de 1.
Passo 3
Definindo Y como o número de lançamentos (entre os 6) que resultam em 3, então Y\sim\mathrm{Bin}(6,p_3) com p_3=\dfrac{1}{4}. Pelo pmf binomial,
Cálculo de P(A\cap B): acontecer A\cap B significa que o primeiro é 1 e, entre os outros 5, há exatamente mais um 1. Como os lançamentos são independentes,
P(A\cap B)=P(X_1=1)\cdot P(\text{exatamente 1 '1' entre os outros 5}).
Temos P(X_1=1)=\dfrac{1}{2}. Para os outros 5, a distribuição de uns é \mathrm{Bin}(5,\tfrac{1}{2}), então
P(\text{exatamente 1 '1' em 5})=\binom{5}{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=5\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{5}{32}.
Interpretação simples (intuição): dado que há exatamente dois lançamentos iguais a 1 entre os seis, esses dois 1's são igualmente prováveis de estarem em qualquer par de posições; assim a chance de que a posição 1 esteja ocupada por um desses dois é 2/6=1/3 (mesma resposta, lógica por simetria).
Passo 5
Definir Y como antes: número de resultados 3 em 6 ensaios, então Y\sim\mathrm{Bin}(6,p_3) com p_3=\dfrac{1}{4}. A pmf não condicionada é