Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço A-36 e alumínio. Cad postes tem comprimento de 250 mm quando nāo há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura
. Determine a força suportada por eada poste se a barra for submetida a um carregamento di uniformemente de
e a temperatura aumentar até
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar o enunciado. A gente tem uma barra absolutamente rígida apoiada em três “postes” (ou tirantes) de 250 mm de comprimento, medidos sem carga a 15 °C. Dois tirantes são de aço A-36 (E₁=200 GPa, α₁=12·10⁻⁶ °C⁻¹) e um é de alumínio (E₂=70 GPa, α₂=23·10⁻⁶ °C⁻¹). A barra leva uma carga uniformemente distribuída w=170 kN/m (comprimento da barra = L) e a temperatura sobe para 80 °C.
Conteúdo: ligações indeterminadas, compatibilidade de deformação, equilíbrio e dilatação térmica. Vamos precisar de:
Conteúdo: ligações indeterminadas, compatibilidade de deformação, equilíbrio e dilatação térmica. Vamos precisar de:
- Equilíbrio: soma das forças nos tirantes = carga total P=w·L.
- Compatibilidade: como a barra é rígida, todos os tirantes têm o mesmo deslocamento total δ.
- Deformação total de cada tirante = mecânica + térmica.
Passo 2
Escreve o equilíbrio global:
P = 2·F₁ + F₂
onde F₁ = força em cada aço, F₂ = força no alumínio, e P = w·L.
P = 2·F₁ + F₂
onde F₁ = força em cada aço, F₂ = força no alumínio, e P = w·L.
Passo 3
Agora a compatibilidade. A deformação total (δ/L) de cada tirante i é
εᵢ = σᵢ/Eᵢ + αᵢ·ΔT
e a barra é rígida, então ε₁ = ε₂. Em termos de força (σᵢ=Fᵢ/A) e cancelando o L:
F₁/(A·E₁) + α₁·ΔT = F₂/(A·E₂) + α₂·ΔT
εᵢ = σᵢ/Eᵢ + αᵢ·ΔT
e a barra é rígida, então ε₁ = ε₂. Em termos de força (σᵢ=Fᵢ/A) e cancelando o L:
F₁/(A·E₁) + α₁·ΔT = F₂/(A·E₂) + α₂·ΔT
Passo 4
Isola F₂ em função de F₁:
F₂/(A·E₂) = F₁/(A·E₁) + (α₁–α₂)ΔT
⇒ F₂ = A·E₂·[F₁/(A·E₁) + (α₁–α₂)ΔT]
⇒ F₂ = (E₂/E₁)·F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
F₂/(A·E₂) = F₁/(A·E₁) + (α₁–α₂)ΔT
⇒ F₂ = A·E₂·[F₁/(A·E₁) + (α₁–α₂)ΔT]
⇒ F₂ = (E₂/E₁)·F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
Passo 5
Volta no equilíbrio (2F₁+F₂=P):
2F₁ + (E₂/E₁)F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT = P
⇒ F₁·[2 + E₂/E₁] = P – A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
⇒ F₁ = [P – A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT] / [2 + E₂/E₁]
2F₁ + (E₂/E₁)F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT = P
⇒ F₁·[2 + E₂/E₁] = P – A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
⇒ F₁ = [P – A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT] / [2 + E₂/E₁]
Passo 6
Calcula F₂ usando F₁:
F₂ = (E₂/E₁)·F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
F₂ = (E₂/E₁)·F₁ + A·E₂·(α₁–α₂)·ΔT
Resposta
As fórmulas gerais são:
Basta substituir L (comprimento da barra), A (seção transversal dos tirantes), e os números dados:
E₁=200 GPa, E₂=70 GPa, α₁=12·10⁻⁶ °C⁻¹, α₂=23·10⁻⁶ °C⁻¹, ΔT=65 °C, w=170 kN/m.
E₁=200 GPa, E₂=70 GPa, α₁=12·10⁻⁶ °C⁻¹, α₂=23·10⁻⁶ °C⁻¹, ΔT=65 °C, w=170 kN/m.