Um bloco de magnésio com 80 mm de comprimento e com seção transversal retangular de 40 mm times 60 mm é submetido a uma carga axial de 4,8 kN. Determine a pressão necessária para causar aumento de 0,1 % no volume. E mg=44,7 GPa, v mg=0,29.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um bloco de magnésio (E=44,7 GPa, ν=0,29) com seção 40 mm×60 mm, submetido a uma carga axial de 4,8 kN. Queremos achar a “pressão” (tensão) necessária para causar um aumento de 0,1 % no volume.
Conteúdo: Mecânica dos Sólidos Linear (Lei de Hooke em 3D) e conceito de deformação volumétrica. Vamos precisar:
  1. Calcular tensão axial σ = F/A;
  2. Usar a relação da deformação volumétrica ε_v em função das tensões e de E, ν;
  3. Impor ε_v = 0,001 e achar σ.

Passo 2

Primeiro, área A = 40 mm × 60 mm = 2400 mm².
A tensão que o bloco “vê” é
sigma = FA = 4,8times10^3;N2400;mm^2 = 2;N/mm^2 = 2;MPa
Isso nos dá a situação inicial, mas queremos a tensão que produza ε_v = 0{,}1 % = 0{,}001.

Passo 3

Em elasticidade isotrópica, quando só há σ_x = σ e σ_y=σ_z=0, a deformação volumétrica é
εv = εx + εy + εz com εx = σE - νE(0+0), εy = εz = -νEσ
Somando:
εv = σE - 2νEσ = 1-2νE;σ

Passo 4

Agora impomos ε_v = 0{,}001 e resolvemos para σ:
0,001 = 1-2νE;σ Longrightarrow σ = E1-2ν;0,001
Substituindo E = 44{,}7 GPa = 44700 MPa e ν = 0,29:
σ = 447001-2cdot0,29times0,001 = 447000,42times0,001 approx 106,4;MPa

Resposta

A tensão (pressão) necessária para obter 0,1 % de aumento de volume é de aproximadamente 106,4 MPa.

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