Calcule a integral.
12. \int_{-2}^{2}\left(u^{3}+u^{2}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\left(u^{3}+u^{2}\right)\,du.
Informações importantes dadas:
  • A integral é sobre o intervalo [-2,2], que é simétrico em torno de 0.
  • O integrando é a soma de duas funções: u^{3} e u^{2}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int_{-2}^{2}\left(u^{3}+u^{2}\right)\,du=\int_{-2}^{2}u^{3}\,du+\int_{-2}^{2}u^{2}\,du.
Explico rapidamente: isso vale porque integrar é uma operação linear — podemos separar termos e puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

Vamos analisar a paridade (simetria) de cada termo, pois o intervalo é simétrico [-2,2].
  • Definição rápida: uma função f é par (ou seja, mesmo) se f(-x)=f(x). Uma função é ímpar se f(-x)=-f(x).
  • Verificação para nossos termos: (-u)^{3}=-u^{3},\quad\text{logo }u^{3}\text{ é ímpar.}éí
(-u)^{2}=u^{2},\quad\text{logo }u^{2}\text{ é par.}é
Propriedades úteis para integrais em [-a,a]:
  • Se f é ímpar então \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0 (as áreas positivas e negativas se cancelam).
  • Se f é par então \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx (a área é duas vezes a de 0 a a).

Passo 4

Aplicando as propriedades de paridade:
\int_{-2}^{2}u^{3}\,du=0,
porque u^{3} é ímpar.
E
\int_{-2}^{2}u^{2}\,du=2\int_{0}^{2}u^{2}\,du,
porque u^{2} é par.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{2}u^{2}\,du usando a regra da potência para integrais indefinidas:
  • Regra da potência: para n\neq-1, \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.Aqui n=2, então \int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C.
Avaliação da integral definida:
\int_{0}^{2}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto
\int_{-2}^{2}u^{2}\,du=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\int_{-2}^{2}\left(u^{3}+u^{2}\right)\,du=0+\frac{16}{3}=\frac{16}{3}.

Passo 7

(Verificação alternativa rápida) Podemos também obter o mesmo resultado encontrando a antiderivada do integrando completo e avaliando nos extremos:
  • Antiderivada de u^{3}+u^{2} é \dfrac{u^{4}}{4}+\dfrac{u^{3}}{3}.
  • Avaliando: \left(\frac{u^{4}}{4}+\frac{u^{3}}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\left(\frac{16}{4}+\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-\frac{8}{3}\right) =\left(4+\frac{8}{3}\right)-\left(4-\frac{8}{3}\right) =\frac{16}{3}.
Confirma que o resultado está correto.

Resposta

\dfrac{16}{3}

Exercícios relacionados