Calcule a integral.
12.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes dadas:
- A integral é sobre o intervalo
, que é simétrico em torno de . - O integrando é a soma de duas funções:
e .
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Explico rapidamente: isso vale porque integrar é uma operação linear — podemos separar termos e puxar constantes para fora da integral.
Passo 3
Vamos analisar a paridade (simetria) de cada termo, pois o intervalo é simétrico
.
- Definição rápida: uma função
é par (ou seja, mesmo) se . Uma função é ímpar se . - Verificação para nossos termos:
Propriedades úteis para integrais em
:
- Se
é ímpar então (as áreas positivas e negativas se cancelam). - Se
é par então (a área é duas vezes a de a ).
Passo 4
Aplicando as propriedades de paridade:
porque
é ímpar.
E
E
porque
é par.
Passo 5
Agora calculamos
usando a regra da potência para integrais indefinidas:
- Regra da potência: para
, Aqui , então
Avaliação da integral definida:
Portanto
Passo 6
Somando os dois resultados:
Passo 7
(Verificação alternativa rápida) Podemos também obter o mesmo resultado encontrando a antiderivada do integrando completo e avaliando nos extremos:
- Antiderivada de
é . - Avaliando:
Confirma que o resultado está correto.