Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
.
Pergunta que vamos responder:
- Qual é o(s) ponto(s)
onde atinge o mínimo absoluto e qual é esse valor? - Qual é o(s) ponto(s)
onde atinge o máximo absoluto e qual é esse valor?
Passo 2
Primeiro princípio importante (explicando como pensar na prova): uma função contínua em intervalo fechado alcança valores extremos absolutos (Teorema do valor extremo). Esses extremos ocorrem em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) OU nas extremidades do intervalo. Então a estratégia será:
- calcular a derivada
; - encontrar os pontos críticos em
resolvendo ; - avaliar
nesses pontos críticos e também nos extremos e ; - comparar os valores para decidir qual é mínimo absoluto e qual é máximo absoluto.
Agora a derivada: usar a regra do poder (se
então
). Aplicando isso a
:
Aqui
representa a taxa de variação instantânea (a inclinação da reta tangente) em cada
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Esse é o único ponto onde
. Também verificamos que a derivada existe para todo
, então não há outros pontos críticos por derivada inexistente. Observação numérica rápida:
, logo
que pertence ao intervalo
. Então temos de avaliar
nesse ponto e nos extremos.
Passo 4
Avaliar
nos pontos candidatos. Primeiro os extremos do intervalo:
Passo 5
Agora avaliar
no ponto crítico
. Para simplificar a conta sem calculadora, use uma identidade simples: como
, temos
. Então
Substituindo
obtemos o valor exato do extremo interior:
Esse é um valor negativo (pois
), logo é menor que
.
Passo 6
Se quiser uma aproximação decimal para comparar facilmente, calculamos
e
numericamente (aproximações):
Agora comparamos os três valores obtidos:
-
, -
, -
.
Portanto o menor é
e o maior é
.
Passo 7
Classificação do ponto crítico (para justificar na prova): usar a segunda derivada. A segunda derivada é
Como
para
, o ponto crítico
é um mínimo local. Combinando isso com os valores comparados no passo anterior, concluímos que é de fato o mínimo absoluto no intervalo
. O máximo absoluto ocorre em
.
Resposta
Mínimo absoluto:
, valor
Máximo absoluto: , valor
Máximo absoluto: