Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
f(x)=x^{4}-x, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função f no intervalo fechado [0,2].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{4}-x.
  • O intervalo é [0,2].
Pergunta que vamos responder:
  • Qual é o(s) ponto(s) x\in[0,2] onde f atinge o mínimo absoluto e qual é esse valor?
  • Qual é o(s) ponto(s) x\in[0,2] onde f atinge o máximo absoluto e qual é esse valor?

Passo 2

Primeiro princípio importante (explicando como pensar na prova): uma função contínua em intervalo fechado alcança valores extremos absolutos (Teorema do valor extremo). Esses extremos ocorrem em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) OU nas extremidades do intervalo. Então a estratégia será:
  1. calcular a derivada f'(x);
  2. encontrar os pontos críticos em [0,2] resolvendo f'(x)=0;
  3. avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos x=0 e x=2;
  4. comparar os valores para decidir qual é mínimo absoluto e qual é máximo absoluto.
Agora a derivada: usar a regra do poder (se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}). Aplicando isso a f(x)=x^{4}-x:
f'(x)=4x^{3}-1.
Aqui f'(x) representa a taxa de variação instantânea (a inclinação da reta tangente) em cada x.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4x^{3}-1=0
4x^{3}=1
x^{3}=\tfrac{1}{4}
x= \left(\tfrac{1}{4}\right)^{1/3}=4^{-1/3}.
Esse é o único ponto onde f'(x)=0. Também verificamos que a derivada existe para todo x, então não há outros pontos críticos por derivada inexistente. Observação numérica rápida: 4^{1/3}\approx1,587401, logo
x\approx 0,6299605,
que pertence ao intervalo [0,2]. Então temos de avaliar f nesse ponto e nos extremos.

Passo 4

Avaliar f nos pontos candidatos. Primeiro os extremos do intervalo:
f(0)=0^{4}-0=0.
f(2)=2^{4}-2=16-2=14.

Passo 5

Agora avaliar f no ponto crítico c=4^{-1/3}. Para simplificar a conta sem calculadora, use uma identidade simples: como c^{3}=\tfrac{1}{4}, temos c^{4}=c^{3}\cdot c=\tfrac{1}{4}c. Então
f\text{(c)}=c^{4}-c=\tfrac{1}{4}c - c = -\tfrac{3}{4}c.
Substituindo c=4^{-1/3} obtemos o valor exato do extremo interior:
f\bigl(4^{-1/3}\bigr) = -\tfrac{3}{4}\,4^{-1/3}.
Esse é um valor negativo (pois c>0), logo é menor que f(0)=0.

Passo 6

Se quiser uma aproximação decimal para comparar facilmente, calculamos c e f\text{(c)} numericamente (aproximações):
c=4^{-1/3}\approx 0,6299605,
f\text{(c)}=-\tfrac{3}{4}c\approx -\tfrac{3}{4}\cdot 0,6299605\approx -0,4724704.
Agora comparamos os três valores obtidos:
  • f(0)=0,
  • f\bigl(4^{-1/3}\bigr)\approx -0,4724704,
  • f(2)=14.
Portanto o menor é f\bigl(4^{-1/3}\bigr) e o maior é f(2).

Passo 7

Classificação do ponto crítico (para justificar na prova): usar a segunda derivada. A segunda derivada é
f''(x)=12x^{2}.
Como f''\text{(c)}=12c^{2}>0 para c>0, o ponto crítico c é um mínimo local. Combinando isso com os valores comparados no passo anterior, concluímos que é de fato o mínimo absoluto no intervalo [0,2]. O máximo absoluto ocorre em x=2.

Resposta

Mínimo absoluto: x=4^{-1/3}, valor f(4^{-1/3})=-\tfrac{3}{4}\,4^{-1/3}\approx -0,4724704
Máximo absoluto: x=2, valor f(2)=14

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