Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
f(x)=x^{4}-4 x^{2}, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função e o intervalo e pede os extremos absolutos:
  • Função: f(x)=x^{4}-4x^{2}.
  • Intervalo: [0,2].
    O que se pede:
  • Encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo [0,2].
    Informações importantes fornecidas:
  • A função explícita f(x)=x^{4}-4x^{2}.
  • O intervalo fechado [0,2] (ou seja, devemos considerar pontos interiores e os extremos x=0 e x=2).

Passo 2

Princípio para resolver (explicação didática): em um intervalo fechado [a,b] uma função contínua atinge o máximo e o mínimo absolutos em algum dos pontos seguintes:
  1. pontos críticos interiores onde f'(x)=0 ou f' é indefinida;
  2. nas extremidades x=a ou x=b.
    Logo o procedimento será:
  • calcular f'(x);
  • achar as raízes de f'(x)=0 e selecionar as que estão em [0,2];
  • avaliar f nesses pontos críticos e também em x=0 e x=2;
  • comparar os valores para decidir máximo e mínimo absolutos.
    Observação: a derivada nos diz a inclinação instantânea; pontos onde a inclinação é zero são candidatos a extremos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) (regra usada: regra do poder — a derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
f(x)=x^{4}-4x^{2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=4x^{3}-8x.
Explicando cada termo:
  • derivada de x^{4} é 4x^{3};
  • derivada de -4x^{2} é -8x.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4x^{3}-8x=0.
Fatorando:
4x^{3}-8x=4x(x^{2}-2)=0.
As soluções são x=0 e x^{2}-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.
Agora escolher as soluções que pertencem ao intervalo [0,2]:
  • x=0 está em [0,2].
  • x=\sqrt{2} (aprox. 1{,}414) está em [0,2].
  • x=-\sqrt{2} está fora do intervalo e é descartado.
    Portanto os pontos críticos relevantes são x=0 e x=\sqrt{2}.

Passo 5

Avaliar f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  • Em x=0:
f(0)=0^{4}-4\cdot0^{2}=0.
  • Em x=\sqrt{2}:
    Calcular passo a passo: (\sqrt{2})^{2}=2 e (\sqrt{2})^{4}=( (\sqrt{2})^{2} )^{2}=2^{2}=4. Assim
f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{4}-4(\sqrt{2})^{2}=4-4\cdot2=4-8=-4.
  • Em x=2:
f(2)=2^{4}-4\cdot2^{2}=16-4\cdot4=16-16=0.

Passo 6

Classificação/checagem adicional (didática): podemos usar a segunda derivada para ver a natureza do ponto interior x=\sqrt{2}. A segunda derivada é
f''(x)=12x^{2}-8.
Avaliar em x=\sqrt{2}:
f''(\sqrt{2})=12(\sqrt{2})^{2}-8=12\cdot2-8=24-8=16>0,
o que indica que x=\sqrt{2} é um mínimo local. Observação: x=0 é extremidade do intervalo (não um interior), então a segunda derivada não é usada para decidir a extremidade; para extremos absolutos usamos a comparação direta dos valores de f.

Passo 7

Comparar os valores encontrados:
  • f(0)=0.
  • f(\sqrt{2})=-4.
  • f(2)=0.
    O menor valor entre esses é -4 em x=\sqrt{2}. Os maiores valores são 0 ocorrendo em x=0 e x=2.

Resposta

Mínimo absoluto: \displaystyle f(\sqrt{2})=-4 no ponto x=\sqrt{2}.
Máximos absolutos: \displaystyle f(0)=0 e \displaystyle f(2)=0.

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