Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de cada função no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado dá a função e o intervalo e pede os extremos absolutos:
- Função:
. - Intervalo:
.
O que se pede: - Encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo .
Informações importantes fornecidas: - A função explícita
. - O intervalo fechado
(ou seja, devemos considerar pontos interiores e os extremos e ).
Passo 2
Princípio para resolver (explicação didática): em um intervalo fechado
uma função contínua atinge o máximo e o mínimo absolutos em algum dos pontos seguintes:
- pontos críticos interiores onde
ou é indefinida; - nas extremidades
ou .
Logo o procedimento será:
- calcular
; - achar as raízes de
e selecionar as que estão em ; - avaliar
nesses pontos críticos e também em e ; - comparar os valores para decidir máximo e mínimo absolutos.
Observação: a derivada nos diz a inclinação instantânea; pontos onde a inclinação é zero são candidatos a extremos.
Passo 3
Calcular a derivada
(regra usada: regra do poder — a derivada de
é
):
Explicando cada termo:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Fatorando:
As soluções são
e
.
Agora escolher as soluções que pertencem ao intervalo :
Agora escolher as soluções que pertencem ao intervalo
-
está em . -
(aprox. ) está em . -
está fora do intervalo e é descartado.
Portanto os pontos críticos relevantes sãoe .
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Calcular passo a passo:e . Assim
- Em
:
Passo 6
Classificação/checagem adicional (didática): podemos usar a segunda derivada para ver a natureza do ponto interior
. A segunda derivada é
Avaliar em
:
o que indica que
é um mínimo local. Observação:
é extremidade do intervalo (não um interior), então a segunda derivada não é usada para decidir a extremidade; para extremos absolutos usamos a comparação direta dos valores de
.
Passo 7
Comparar os valores encontrados:
-
. -
. -
.
O menor valor entre esses éem . Os maiores valores são ocorrendo em e .
Resposta
Mínimo absoluto:
no ponto
.
Máximos absolutos: e
.
Máximos absolutos: