Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra calcular a integral definida
Isso é cálculo de integrais, mais especificamente vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica. Pra resolver esse problema, a gente vai precisar:
- Reconhecer que a forma
sugere usar . - Saber como trocar
e mudar os limites de para . - Integrar uma função simples de
, tipo .
Passo 2
Primeiro, por que usar a substituição
?
- A gente vê
. Sabemos a identidade trigonométrica
- Se
, então . - Assim
.
Passo 3
Vamos fazer a troca na integral. Primeiro os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Agora a integral vira
[
\int_{x=0}^{1} \frac{1}{(1+x2){3/2}},dx
\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}
\frac{1}{\sec3\theta},\bigl(\sec2\theta,d\theta\bigr).
]
\frac{1}{\sec3\theta},\bigl(\sec2\theta,d\theta\bigr).
]
Passo 4
Simplifica o integrando:
Logo a integral fica
E aí a gente sabe que
Passo 5
Basta avaliar entre
e
: