Calcule a integral definida.
integral0^1 1(1+x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra calcular a integral definida
integral0^1 1l(1+x^2r)^3/2,dx
Isso é cálculo de integrais, mais especificamente vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica. Pra resolver esse problema, a gente vai precisar:
  1. Reconhecer que a forma sugere usar .
  2. Saber como trocar e mudar os limites de para .
  3. Integrar uma função simples de , tipo .

Passo 2

Primeiro, por que usar a substituição 1 + tan^2theta = sec^2theta ?
  • A gente vê . Sabemos a identidade trigonométrica
  • Se , então .
  • Assim .

Passo 3

Vamos fazer a troca na integral. Primeiro os limites:
  • Quando integralx=0^1 1(1+x^2)^3/2,dx = integraltheta=0^theta=pi/4 1sec^3theta,l(sec^2theta,dthetar) , .
  • Quando , .

Agora a integral vira
[
\int_{x=0}^{1} \frac{1}{(1+x2){3/2}},dx

\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}
\frac{1}{\sec3\theta},\bigl(\sec2\theta,d\theta\bigr).
]

Passo 4

Simplifica o integrando:
1sec^3theta,sec^2theta = sec^2thetasec^3theta = 1sectheta = costheta
Logo a integral fica
integral0^pi/4 costheta,dtheta
E aí a gente sabe que
integral costheta,dtheta = sintheta

Passo 5

Basta avaliar entre integral0^pi/4 costheta,dtheta = sintheta |0^pi/4 = sinl(tfracpi4r) - sin(0) = raiz22 - 0 = raiz22 e :

Resposta

boxedraiz22

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